Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

A.3 Middelværdisætning
For at bevise den generaliserede middelværdisætning er det nødvendigt først at
bevise Rolle’s sætning, da denne bruges til udledning af førstnævnte sætning.
Begge sætninger bygger p˚a [Wad04].
Lemma A.3 Rolle’s sætning
Lad f : I → R, hvor I ⊆ R, være en funktion, og lad a, b ∈ I, hvor
a = b. Hvis f er kontinuert p˚a intervallet [a; b], differentiabel p˚a ]a; b[,
og f(a) = f(b), s˚a eksisterer c ∈]a; b[, s˚aledes f ′ (c) = 0.
Bevis. Funktionen f er kontinuert p˚a det lukket interval [a; b]. I henhold til
sætning 3.26 i [Wad04] antager f dermed b˚ade maksimum M og minimum m
i intervallet. I det tilfælde at m = M, er f en konstant funktion p˚a intervallet
[a; b], og f ′ (x) = 0 for alle x ∈]a; b[.
Antag derfor, at m < M. Hvis f(a) = f(b), antager f enten M eller m i et punkt
c ∈]a; b[. Idet m = M, kan f ikke antage m i det ene endepunkt og M i det
andet. Sætningen bevises i det tilfælde, hvor f antager M i et punkt c ∈]a; b[.
Beviset for f(c) = m følger analogt.
Da M er maksimum for f p˚a [a; b], gælder for alle h ∈ R, for hvilke c+h ∈ [a; b],
følgende:
Hvis h > 0 f˚as, at
For h < 0 f˚as, at
Eftersom f er differentiabel, følger at
f(c + h) − f(c) ≤ 0
f ′ f(c + h) − f(c)
(c) = lim
≤ 0
h→0+ h
f ′ f(c + h) − f(c)
(c) = lim
≥ 0
h→0− h
f ′ f(c + h) − f(c)
(c) = lim
= 0
h→0 h
Hermed er sætningen bevist.
Nu er det muligt at bevise den generaliserede middelværdisætning:
Sætning A.4 Den generaliserede middelværdisætning
Antag, at a, b ∈ R, hvor a = b. Hvis funktionerne f og g er kontinuerte
p˚a intervallet [a; b] og differentiable p˚a ]a, b[, s˚a eksisterer et c ∈]a, b[,
s˚aledes at
f ′ (c) g(b) − g(a) = g ′ (c) f(b) − f(a)