Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

Recommendations

Info

88 KAPITEL 6. NUMERISK APPROKSIMATION Figur 6.1: Eulerapproksimation med ∆t = 0.01 for Lotka- Volterramodellen 6.3.2 Runge-Kuttametoder Figur 6.2: Eulerapproksimation med ∆t = 0.001 for Lotka- Volterramodellen For at kunne sammenligne resultaterne fra Eulers metode er startopsætningen for de to test valgt til at være ens. 1. Opsætning Konstant A 1 Konstant B 1 Konstant C 1 Konstant D 1 Skridtlængde ∆t 0.01 Beg.-værdier (b0, t0) (1.2,0.7) Antal iterationer 20000 2. Opsætning Konstant A 1 Konstant B 1 Konstant C 1 Konstant D 1 Skridtlængde ∆t 0.001 Beg.-værdier (b0, t0) (1.2,0.7) Antal iterationer 20000 Tabel 6.2: Opsætninger til eksperimentet med Runge-Kuttametoden For at vise hvordan Runge-Kuttametoden fungerer med den viste opsætning i tabel 6.2 laves et eksempel med to iterationer. S˚aledes bestemmes (b1, r1) og (b2, r2) ud fra begyndelsesværdien (b0, r0). I tabel 6.3 er resultaterne vist for de hældninger, som bruges til at udregne approksimationen. For en mere detaljeret udregning henvises til appendiks A.5.
6.4 Opsummering 89 kb11 = 0, 36 kr11 = 0, 14 kb12 = 0, 3597 kr12 = 0, 1414 kb13 = 0, 3597 kr13 = 0, 1414 kb14 = 0, 3594 kr14 = 0, 1428 b1 = 1, 2036 r1 = 0, 7014 kb21 = 0, 3594 kr21 = 0, 1428 kb22 = 0, 3591 kr22 = 0, 1442 kb23 = 0, 3590 kr23 = 0, 1442 kb24 = 0, 3587 kr24 = 0, 1456 b2 = 1, 2072 r2 = 0, 7029 Tabel 6.3: Testresultat for Runge-Kuttametoden af 4. orden Tabel 6.3 viser approksimationen af to punkter. De efterfølgende approksimationer udregnes p˚a samme m˚ade. Figurerne 6.3 og 6.4 viser resultaterne for henholdsvis ∆t = 0, 01 og ∆t = 0, 001. Figur 6.3: Runge-Kuttametode med ∆t = 0, 01 Figur 6.4: Runge-Kuttametode med ∆t = 0, 001 Til forskel fra Eulers metode bemærkes det, at i dette tilfælde er approksimationerne s˚a præcise, at en formindskning af skridtlængden ikke har s˚a stor en betydning. Dette viser, at Runge-Kuttametoderne har en større præcision end Eulers metode. 6.4 Opsummering I dette kapitel har vi gennemg˚aet de numeriske metoder, Eulers metode og Runge-Kuttametoder. Ved Eulers metode n˚aede vi frem til, at skridtlængden har stor betydning for resultatet. Vi n˚aede frem til dette, da metoden ved en stor skridtlængde gav en spiralerende kurve, hvorimod det ved en mindre skridtlængde gav en lukket kurve. Skridtlængden havde derimod ikke den store betydning i Runge-Kuttametoderne, eftersom det ved begge de valgte skridtlængder gav lukkede kurver. Vi kunne derefter sammenligne de to metoder, og hvor godt de approksimerede en løsning til Lotka-Volterramodellen. Vi n˚aede derigennem frem til, at Runge-
Page 1:
Plane Differentialligningssystemer
Page 5:
Forord Dette projekt er udarbejdet
Page 8 and 9:
viii INDHOLD 6 Numerisk approksimat
Page 10 and 11:
2 INDHOLD værktøjer til at analys
Page 12 and 13:
4 KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL DIFFE
Page 14 and 15:
Page 16 and 17:
Page 18 and 19:
10 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGH
Page 20 and 21:
Page 22 and 23:
Page 24 and 25:
Page 26 and 27:
Page 28 and 29:
Page 30 and 31:
Page 32 and 33:
Page 34 and 35:
Page 36 and 37:
Page 39 and 40:
Kapitel 3 Lineære, plane different
Page 41 and 42:
3.1 Plane systemer af differentiall
Page 43 and 44:
3.1 Plane systemer af differentiall
Page 45 and 46: 3.1 Plane systemer af differentiall
Page 47 and 48: 3.2 Systemer med kanoniske matricer
Page 61 and 62: 3.3 Klassifikation 53 ved dens spor
Page 63 and 64: Kapitel 4 Linearisering Vi vil i de
Page 65 and 66: Vi kan nu baseret p˚a [Wad04] bevi
Page 67 and 68: 4.1 Linearisering 59 f2(x1, x2) omk
Page 69 and 70: 4.1 Linearisering 61 I dette system
Page 71 and 72: 4.1 Linearisering 63 Da λ,x > 0 f
Page 73 and 74: 4.2 Lotka-Volterra 65 P˚a samme m
Page 75 and 76: 4.2 Lotka-Volterra 67 Af figur 4.3
Page 77 and 78: Kapitel 5 Stabilitet Vi har i forri
Page 79 and 80: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 71 5.1
Page 81 and 82: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 73 Som
Page 83 and 84: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 75 Ide
Page 85 and 86: 5.2 Lotka-Volterra 77 Derfor kan de
Page 87 and 88: 5.2 Lotka-Volterra 79 M b n () g(b)
Page 89: 5.3 Opsummering 81 5.3 Opsummering
Page 92 and 93: 84 KAPITEL 6. NUMERISK APPROKSIMATI
Page 100 and 101: 92 KAPITEL 7. AFRUNDING derfor kunn
Page 102 and 103: [Wei91] Giordano Weir. Differential
Page 104 and 105: Dermed er (G ◦ f) ′ (t) = G ′
Page 106 and 107: Eftersom ε(h) = g(a + h) − g(a)
Page 108 and 109: A.3 Middelværdisætning For at bev
Page 110 and 111: A.4 Taylors formel Dette appendiks
Page 112 and 113: Da F er p gange differentiabel p˚a
Page 114 and 115: 1 = b0 + ∆t kb11 + 2(kb12 + kb13)
show all

Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?