Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

A.2 Kædereglen
Dette appendiks er baseret p˚a [Wad04].
Sætning A.2 Kædereglen for vektorfunktioner
Lad a ∈ R n og lad g : R n → R m og f : R m → R p være vektorfunktioner.
Hvis g er differentiabel i a, og f er differentiabel i g(a), s˚a er f ◦ g
differentiabel i a, og
D(f ◦ g)(a) = Df g(a) Dg(a)
Bevis. Sæt T = Df g(a) Dg(a). Det er værd at bemærke, at matricen T
har den rette størrelse til at være Jacobimatricen for f ◦ g(a). Dette skyldes, at
T er produktet mellem en (p × m)-matrix og en (m × n)-matrix, s˚aledes bliver
T en (p × n)-matrix.
Jacobimatricen for en vektorfunktion i et punkt er entydig. Det følger heraf, at
det, der skal vises, er, at
f(g(a + h)) − f(g(a)) − T (h)
lim
= 0
h→0
||h||
For at vise at ovenst˚aende gælder, sættes b = g(a). For h og k tilstrækkeligt
sm˚a, sættes ε(h) og δ(k) til følgende:
ε(h) = g(a + h) − g(a) − Dg(a)(h)
δ(k) = f(b + k) − f(b) − Df(b)(k)
Da g er differentiabel i a, følger at ε(h)
||h|| → 0 i Rm , n˚ar h → 0 i Rn . P˚a samme
m˚ade følger, at δ(k)
||k|| → 0 i Rp , n˚ar k → 0 i Rm , idet f er differentiabel i g(a).
Lad h være tilstrækkelig lille, og lad k være givet ved:
k = g(a + h) − g(a)
.
Der omskrives nu p˚a udtrykket f(g(a + h)) − f(g(a)). Først trækkes g(a) fra og
lægges til igen:
f(g(a + h)) − f(g(a)) = f(g(a) + g(a + h) − g(a)) − f(g(a))
Herefter indsættes at b = g(a), og k = g(a + h) − g(a):
f(g(a) + g(a + h) − g(a)) − f(g(a)) = f(b + k) − f(b)
Da δ(k) = f(b + k) − f(b) − Df(b)(k), f˚as at
Det indsættes, at k = g(a + h) − g(a):
f(b + k) − f(b) = Df(b)(k) + δ(k)
Df(b)(k) + δ(k) = Df(b)(g(a + h) − g(a)) + δ(k)