Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

26 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGHED
Betragt følgende begyndelsesværdiproblem
x ′ = x 2 , x(t0) = x0 (2.31)
Først undersøges, for hvilke værdier af t en løsning er defineret. Det gøres ved
at bestemme k:
x(t0) = x0 ⇒
− 1
t0 + k = x0 ⇔
x0(t0 + k) = −1 ⇔
t0 + k = − 1
, x0 = 0 ⇔
x0
k = − 1
− t0
x 0
Eftersom en løsning ikke er defineret i t = −k, gælder at
−∞ < t < 1
1
x0
x0
+ t0, hvis t0 < −k
+ t0 < t < ∞, hvis t0 > −k
Herefter undersøges, om begyndelsesværdiproblem (2.31) opfylder kravene for
eksistens og entydighed af en lokal løsning, jf. sætning 2.14. Det vides, at
f(x) = x 2 er kontinuert. Desuden opfylder f en lokal Lipschitz-betingelse, jf.
sætning 2.12, eftersom f ′ (x) = 2x er kontinuert. Det betyder, at eksistens- og
entydighedssætning 2.14 gælder.
Dermed eksisterer en entydig, lokal løsning til begyndelsesværdiproblem (2.31).
Denne løsning er global, i det tilfælde at x0 = 0, eftersom det betyder, at x(t) ≡ 0
er den entydige løsning. Af eksistens- og entydighedssætning 2.14 følger, at der
ikke er andre løsninger til denne begyndelsesbetingelse,
Ud fra ovenst˚aende fremg˚ar det, at der kun eksisterer en entydig, lokal løsning til
begyndelsesværdiproblem (2.31). Med undtagelse af ligevægtsløsningen er alle
løsninger dermed ikke globale. Eksemplet illustrerer s˚aledes, at der for et begyndelsesværdiproblem,
der opfylder betingelserne i eksistens- og entydighedssætning
2.14, kun med sikkerhed eksisterer en entydig, lokal løsning.
Herunder gives et eksempel p˚a en differentialligning, for hvilken en løsning, der
opfylder x(0) = 0, kun er defineret for −1 < t < 1.
Først findes en funktion, som er defineret i intervallet −1 < t < 1.
x(t) = tan(t) er defineret for − π
2
for −1 < t < 1 og k ∈ R.
Nu bestemmes k, s˚a løsningen opfylder x(0) = 0:
π
x(0) = 0 ⇒ tan · 0 + k = 0 ⇔ k = 0
2
Dermed er x(t) = tan π
2 t , hvilket gør, at x ′ (t) = π
2 1 + tan2 π
2 t.
Det giver følgende differentialligning:
< t < π
2 , dvs. x(t) = tan π
2 t + k er defineret