Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

Recommendations

Info

70 KAPITEL 5. STABILITET x(0) Ð×ÒÒ×ÙÖÚÒ x(t) Figur 5.1: Illustration af et stabilt ligevægtspunkt x ∗ . Figur 5.2 viser et asymptotisk stabilt ligevægtspunkt x ∗ . x(0) x ∗ O1 Ä×ÒÒ×ÙÖÚÒ x(t) Figur 5.2: Illustration af et asymptotisk stabilt ligevægtspunkt x ∗ . P˚a figur 5.3 vises et ustabilt ligevægtspunkt x ∗ . x(0) x ∗ O1 Ð×ÒÒ×ÙÖÚÒ x(t) Figur 5.3: Illustration af et ustabilt ligevægtspunkt x ∗ . x ∗ O1 O O O
5.1 Stabilitetsundersøgelse 71 5.1 Stabilitetsundersøgelse Dette afsnit omhandler en metode, hvormed det er muligt at f˚a oplysninger om, hvorledes løsningerne til et ikke-lineært system af differentialligninger opfører sig. 5.1.1 Nulkliner Den første metode tager udgangspunkt i nulkliner: Definition 5.2 Nulkliner Betragt et system p˚a formen: x ′ = f(x, y) y ′ = g(x, y) x-nulklinerne er mængden (x, y) f(x, y) = 0 Tilsvarende er y-nulklinerne defineret ved (x, y) g(x, y) = 0 Nulklinerne til et plant system deler planen op i nogle omr˚ader. Herunder forklares dette nærmere ved at tage udgangspunkt i følgende system, hvor f og g er kontinuerte: x ′ = f(x, y) y ′ = g(x, y) For at finde x-nulklinerne løses ligningen f(x, y) = 0. Dvs. at x-nulklinerne udgøres af de punkter (x, y), for hvilke x ′ = f(x, y) = 0. Det betyder, at vektorerne i vektorfeltet er vertikale p˚a x-nulklinerne. P˚a samme m˚ade løses g(x, y) = 0 for at finde y-nulklinerne, p˚a hvilken vektorerne i vektorfeltet er horisontale. Planen bliver delt op i omr˚ader af x-nulklinerne. I nogle omr˚ader peger vektorerne i vektorfeltet til venstre, mens de i andre peger til højre. Dette skyldes, at f er en kontinuert funktion, samt at det kun er p˚a x-nulklinerne, at vektorerne er vertikale. P˚a samme m˚ade deler y-nulklinerne planen op i omr˚ader, hvor vektorerne enten peger nedad eller opad, eftersom g er kontinuert, og det kun er p˚a y-nulklinerne, at vektorerne er horisontale. Et punkt (x, y) er et ligevægtspunkt, hvis f(x, y) = 0, og g(x, y) = 0. Dvs. i planen er eventuelle skæringspunkter mellem x- og y-nulklinerne ligevægtspunkter. Figur 5.4 viser, hvorledes planen eksempelvis kan deles op af x-nulklinerne og y-nulklinerne.
Page 1:
Plane Differentialligningssystemer
Page 5:
Forord Dette projekt er udarbejdet
Page 8 and 9:
viii INDHOLD 6 Numerisk approksimat
Page 10 and 11:
2 INDHOLD værktøjer til at analys
Page 12 and 13:
4 KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL DIFFE
Page 14 and 15:
Page 16 and 17:
Page 18 and 19:
10 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGH
Page 20 and 21:
Page 22 and 23:
Page 24 and 25:
Page 26 and 27:
Page 28 and 29: 20 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGH
Page 39 and 40: Kapitel 3 Lineære, plane different
Page 41 and 42: 3.1 Plane systemer af differentiall
Page 47 and 48: 3.2 Systemer med kanoniske matricer
Page 61 and 62: 3.3 Klassifikation 53 ved dens spor
Page 63 and 64: Kapitel 4 Linearisering Vi vil i de
Page 65 and 66: Vi kan nu baseret p˚a [Wad04] bevi
Page 67 and 68: 4.1 Linearisering 59 f2(x1, x2) omk
Page 69 and 70: 4.1 Linearisering 61 I dette system
Page 71 and 72: 4.1 Linearisering 63 Da λ,x > 0 f
Page 73 and 74: 4.2 Lotka-Volterra 65 P˚a samme m
Page 75 and 76: 4.2 Lotka-Volterra 67 Af figur 4.3
Page 77: Kapitel 5 Stabilitet Vi har i forri
Page 81 and 82: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 73 Som
Page 83 and 84: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 75 Ide
Page 85 and 86: 5.2 Lotka-Volterra 77 Derfor kan de
Page 87 and 88: 5.2 Lotka-Volterra 79 M b n () g(b)
Page 89: 5.3 Opsummering 81 5.3 Opsummering
Page 92 and 93: 84 KAPITEL 6. NUMERISK APPROKSIMATI
Page 100 and 101: 92 KAPITEL 7. AFRUNDING derfor kunn
Page 102 and 103: [Wei91] Giordano Weir. Differential
Page 104 and 105: Dermed er (G ◦ f) ′ (t) = G ′
Page 106 and 107: Eftersom ε(h) = g(a + h) − g(a)
Page 108 and 109: A.3 Middelværdisætning For at bev
Page 110 and 111: A.4 Taylors formel Dette appendiks
Page 112 and 113: Da F er p gange differentiabel p˚a
Page 114 and 115: 1 = b0 + ∆t kb11 + 2(kb12 + kb13)
show all

Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?