Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

62 KAPITEL 4. LINEARISERING
Lad endvidere C betegne det kegleformede omr˚ade i Bε, der er givet ved:
C = {(x, y) ∈ Bε| |y| ≥ |x|}
Ved C + forst˚as den del af keglen, som er placeret over x-aksen og ved C −
den del, der er placeret under x-aksen. Før det er muligt at sige noget om
løsningskurverne, er det nødvendigt at bevise følgende to punkter:
1. Der eksisterer et ε > 0, s˚aledes vektorfeltet peger udenfor C for punkter,
der ligger p˚a grænsen af C ∩ Bε(p˚anær i origo).
2. Der eksisterer et ε > 0 s˚aledes y ′ < 0 i C + , og y ′ > 0 i C −
Bevis for punkt 1:
Det blev stillet som betingelse, at |g1(x,y)|
r
et ε, s˚aledes der gælder, at
∀(x, y) ∈ Bε :
→ 0 for r → 0. Der skal bestemmes
|g1(x, y)|
r
≤ λ
2 √ 2
Der eksisterer et µ, som er større end r, s˚aledes ovenst˚aende gælder. Den største
værdi, som r kan antage, er √ ε 2 + ε 2 = ε √ 2. Ved at vælge ε = µ √ 2 f˚as, at
(x, y) ∈ Bε ⇒ r < µ
Antag, at x > 0. Langs den højre grænse af C + , dvs. hvor y = x, f˚as:
x ′ = λx + g1(x, x)
Ved at tage den numeriske værdi af g1(x, x) gælder følgende ulighed, eftersom
b˚ade x og λ er positive:
x ′ ≥ λx − |g1(x, x)|
Herefter indsættes |g1(x, y)| ≤ λ
2 √ 2 r:
x ′ ≥ λx − λ
2 √ 2 r
Da r = x 2 + y 2 , og y = x p˚a grænsen af keglen, kan dette indsættes istedet
for r:
x ′ ≥ λx − λ
2 √ 2 r
x 2 + x 2
= λx − λ
2 √ 2
= λx − λ
2 √ √
2x2 2
= λx − λ
2 √ 2 x√2 = λx − λx
2
= λ
2 x