Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

3.2 Systemer med kanoniske matricer 45
Figur 3.5: Spiralkilde Figur 3.6: Spiraldræn
3.2.3 Gentagen egenværdi
I dette afsnit vil vi udlede den generelle løsning til systemet x ′ = Ax, hvor
matricen A har én reel egenværdi med algebraisk multiplicitet 2. Først behandles
det tilfælde, hvor
A =
λ 0
0 λ
Her er λ ∈ R. Til at starte med beregnes den karakteristiske ligning for at tjekke,
at λ er en egenværdi med algebraisk multiplicitet 2:
det(A − λ1I) = 0 ⇔
λ − λ1 0
= 0 ⇔
0 λ − λ1
(λ − λ1)(λ − λ1) = 0
Heraf ses, at λ er en egenværdi med algebraisk multiplicitet 2. Ved at indsætte
λ i den karakteristiske ligning f˚as egenvektorerne:
Eλ(A) = null(A − λI)
λ − λ 0
= null
0 λ − λ
0 0
= null
0 0
Ud fra dette fremg˚ar det, at enhver vektor v ∈ R 2 \{0} er en egenvektor. Dermed
er den generelle løsning ifølge sætning 3.5 samt eksistens- og entydighedssætning
2.14 givet ved:
x(t) = ke λt v, k ∈ R (3.17)
Lad w1, w2 ∈ R 2 være to lineært uafhængige vektorer, og sæt
kv = k1w1 + k2w2