Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

3.2 Systemer med kanoniske matricer 49
Sætning 3.11 Løsninger til konjugerede systemer
Lad T være en invertibel matrix. Betragt det lineære differentialligningssystem
y ′ = (T −1 AT )y
Lad y(t) være en løsning til systemet, s˚a er T y(t) en løsning til x ′ = Ax.
Bevis. Antag, at y(t) er en løsning til y ′ = (T −1 AT )y, hvor T er en invertibel
matrix, s˚a gælder, at:
(T y(t)) ′ = T y ′ (t) = T (T −1 AT )y(t) = A(T y(t))
Det første lighedstegn skyldes, at differentiation er en lineær operation, jf. sætning
4.10 i [Wad04]. Hermed er det ønskede bevist.
Sætning 3.11 betyder, at hvis der eksisterer en invertibel matrix, s˚a et givent system
repræsenteret af matricen B er konjugeret med et andet system repræsenteret
af matricen A, hvis generelle løsning kendes, kan den generelle løsning til
systemet x ′ = Bx findes.
3.2.5 Den invertible matrix
I det følgende vil vi gennemg˚a, hvorledes det altid er muligt at finde en invertibel
matrix, s˚a en vilk˚arlig matrix kan konjugeres med et system, som har en generel
løsning, der er kendt. Fremgangsm˚aden er delt op i tre tilfælde afhængig af,
hvilken af de følgende tre kategorier egenværdierne for matricen tilhører:
• Reelle og forskellige egenværdier
• Komplekse egenværdier
•
Én egenværdi med algebraisk multiplicitet 2.
Vi vil herunder gennemg˚a hvert tilfælde.
Reelle og forskellige egenværdier
Lad A være en matrix med to reelle egenværdier λ1 og λ2, hvor λ1 = λ2, med
tilhørende egenvektorer v1 og v2. Lad endvidere T være den matrix, som har
søjlerne v1 og v2, dvs. T =
v1 v2 . S˚aledes gælder, at
T e1 = v1 ⇒ T −1 v1 = e1
T e2 = v2 ⇒ T −1 v2 = e2
Her angiver e1 og e2 vektorerne i standardbasen i R 2 .
Dermed gælder følgende:
(T −1 AT )ei = T −1 Avi = T −1 (λivi) = λiT −1 vi = λiei, hvor i = 1, 2.
Det betyder, at
T −1
λ1 0
AT =
0 λ2