Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

4
KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL
DIFFERENTIALLIGNINGER
En lineær 1. ordens differentialligning er en differentialligning p˚a følgende form
[Jen00]:
dx
dt + a0x = q(t), t ∈ I (1.2)
Her er a0 ∈ R, I ⊆ R, og q : I → R er en kontinuert funktion.
Differentialligninger, der ikke kan skrives p˚a denne form, kaldes for ikke-lineære.
Hvis q(t) ≡ 0, kaldes differentialligning (1.2) homogen, mens den kaldes inhomogen,
s˚afremt q(t) ≡ 0.
Vi vil nu definere, hvad der forst˚as ved en løsning til en differentialligning:
Definition 1.3 En løsning til en differentialligning
En funktion x(t) er en løsning til en differentialligning, s˚afremt x(t)
opfylder differentialligningen ved indsættelse.
Følgende sætning handler om løsningsmængden til x ′ (t) = ax(t):
Sætning 1.4 Løsningen til x ′ (t) = ax(t)
Lad a, k, t ∈ R. Differentialligningen x ′ (t) = ax(t) har følgende
generelle løsning:
x(t) = ke at
Bevis. For at bevise at x(t) = ke at er en løsning, differentieres udtrykket og
indsættes i x ′ (t) = ax(t):
x ′ (t) = ake at = ax(t)
Eftersom x(t) = ke at opfylder ligningen x ′ (t) = ax(t), er det en løsning.
Herefter skal det bevises, at der ikke eksisterer løsninger p˚a en anden form.
Derfor antages, at u(t) er en anden løsning. Betragt udtrykket u(t)e −at , der
differentieret giver:
d −at
u(t)e
dt
= u ′ (t)e −at + u(t) −ae −at
Eftersom u(t) er en løsning, er u ′ (t) = au(t). Dette indsættes i ligning (1.3):
d
dt (u(t)e−at ) = au(t)e −at − au(t)e −at = 0
Idet den afledede af u(t)e −at giver nul, gælder at
u(t)e −at = k ⇔ u(t) = ke at , k ∈ R
(1.3)
Det fremg˚ar heraf, at løsningen u(t) er p˚a samme form som x(t). Hermed er det
ønskede bevist.