Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

Recommendations

Info

24 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGHED Bevis for punkt 2: Først skal følgende udtryk vurderes opadtil: ∀t ∈ J : S u1(t) − S u2(t) t = f t0 v, u1(v) − f v, u2(v) dv ⎡ t f1 v, u1(v) t0 = ⎣ − f1 v, u2(v) dv t f2 v, u1(v) t0 − f2 v, u2(v) ⎤ ⎦ dv = t f1 v,u1(v) −f1 v,u2(v) t0 2 t dv + f2 v,u1(v) −f2 v,u2(v) t0 2 dv ≤ t f1 v,u1(v) −f1 v,u2(v) t0 dv + t f2 v,u1(v) −f2 v,u2(v) t0 dv ≤ t dv+ t dv t f1 v,u1(v) −f1 v,u2(v) 0 t f2 v,u1(v) −f2 v,u2(v) (2.27) 0 For at kunne fortsætte vurderingen benyttes, at f opfylder en Lipschitzbetingelse: ∃KT ×M > 0, ∀v ∈ T , u1, u2 ∈ M : f v, u1(v) − f v, u2(v) ≤ KT ×M||u1(v) − u2(v)|| ⇒ f1 v,u1(v) −f1 v,u2(v) 2 + f2 v,u1(v) −f2 v,u2(v) 2 f1 v, u1(v) − f1 v, u2(v) ≤ KT ×M||u1(v) − u2(v)|| ∧ f2 v, u1(v) − f2 v, u2(v) ≤ KT ×M||u1(v) − u2(v)|| ≤KT ×M||u1(v)−u2(v)|| ⇒ Dermed kan udtryk (2.27) vurderes opadtil: t dv+ t dv t f1 v,u1(v) −f1 v,u2(v) 0 t f2 v,u1(v) −f2 v,u2(v) 0 t t ≤ KT ×M||u1(v) − u2(v)||dv + KT ×M||u1(v) − u2(v)||dv t0 t =2KT ×M ||u1(v) − u2(v)||dv t0 t ≤2KT ×M d∞(u1, u2)dv t0 =2KT ×Md∞(u1, u2)(t − t0) Anvend dette samt definitionen af d∞ til at f˚a følgende: S(u1), S(u2) = sup S u1(t) − S u2(t) d∞ t∈J t0 ≤ sup 2KT ×Md∞(u1, u2)(t − t0) t∈J = 2KT ×Md∞(u1, u2)h = αd∞(u1, u2), hvor α = 2hKT ×M
2.3 Eksistens og entydighed af løsning 25 1 Sæt h < 2KT ×M , hvilket giver, at 2hKT ×M < 1. Det betyder, at α ∈]0, 1[, da h, KT ×M > 0. S˚aledes er udsagn (2.18) bevist. Hermed er det bevist, at S opfylder punkt 1 og punkt 2, s˚afremt h ≤ b √ 2PT ×M 1 og h < 2KT ×M (2.28) Dermed er S en kontraktion p˚a (F, d∞). Ifølge sætning 2.9 har en kontraktion p˚a et fuldstændigt metrisk rum et entydigt fikspunkt, hvilket betyder, at ∃x ∈ F : S x(t) = x(t), ∀t ∈ J ⇒ t x(t) = ˜x + f v, x(v) dv, ∀t ∈ J Udover de to uligheder (2.28), som h skal opfylde, skal der ogs˚a gælde, at h ≤ a. Det betyder, at J ⊆ T , hvilket sikrer, at f er defineret for alle t ∈ J. Dermed er det bevist, at der eksisterer en entydig, lokal løsning x : ]t0 − h, t0 + h[→ R 2 til begyndelsesværdiproblem (2.17). 2.3.1 Eksempler Dette afsnit best˚ar af nogle eksempler p˚a differentialligninger, som enten opfylder sætning 2.14 om eksistens og entydighed af en løsning, eller som ikke gør. Eksempel 2.15 Dette eksempel viser, at en 1. ordens differentialligning ikke altid har løsninger, der er defineret til alle tidspunkter. Eksemplet bygger p˚a opgave 11 p˚a s. 18 i [HSD04]. Det g˚ar ud p˚a at finde den generelle løsning til x ′ = x 2 . Først bruges separation af de variable til at finde en løsning. Denne fremgangsm˚ade er uddybet i appendiks A.1. t0 dx dt = x(t) 2 , x(t) = 0 for t ∈ R ⇒ (2.29) 1 2 dx = dt ⇒ x(t) − 1 = t + k , k ∈ R ⇔ x(t) x(t) = − 1 , t = −k (2.30) t + k Løsningerne x(t) = − 1 t+k er ikke defineret for t = −k. Derfor er løsningerne ikke globale. Derudover er x(t) ≡ 0 en ligevægtsløsning for t ∈ R. Det vides, at alle løsninger er fundet, da der gælder implikation fra ligning (2.29) til ligning (2.30). Det skyldes, at der i ligning (2.29) blev opstillet en betingelse om, at x(t) = 0 for t ∈ R. Denne betingelse opstilles for at undg˚a, at der divideres med nul undervejs i udregningen.
Page 1: Plane Differentialligningssystemer
Page 5: Forord Dette projekt er udarbejdet
Page 8 and 9: viii INDHOLD 6 Numerisk approksimat
Page 10 and 11: 2 INDHOLD værktøjer til at analys
Page 12 and 13: 4 KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL DIFFE
Page 18 and 19: 10 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGH
Page 39 and 40: Kapitel 3 Lineære, plane different
Page 41 and 42: 3.1 Plane systemer af differentiall
Page 47 and 48: 3.2 Systemer med kanoniske matricer
Page 61 and 62: 3.3 Klassifikation 53 ved dens spor
Page 63 and 64: Kapitel 4 Linearisering Vi vil i de
Page 65 and 66: Vi kan nu baseret p˚a [Wad04] bevi
Page 67 and 68: 4.1 Linearisering 59 f2(x1, x2) omk
Page 69 and 70: 4.1 Linearisering 61 I dette system
Page 71 and 72: 4.1 Linearisering 63 Da λ,x > 0 f
Page 73 and 74: 4.2 Lotka-Volterra 65 P˚a samme m
Page 75 and 76: 4.2 Lotka-Volterra 67 Af figur 4.3
Page 77 and 78: Kapitel 5 Stabilitet Vi har i forri
Page 79 and 80: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 71 5.1
Page 81 and 82: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 73 Som
Page 83 and 84:
5.1 Stabilitetsundersøgelse 75 Ide
Page 85 and 86:
5.2 Lotka-Volterra 77 Derfor kan de
Page 87 and 88:
5.2 Lotka-Volterra 79 M b n () g(b)
Page 89:
5.3 Opsummering 81 5.3 Opsummering
Page 92 and 93:
84 KAPITEL 6. NUMERISK APPROKSIMATI
Page 94 and 95:
Page 96 and 97:
Page 98 and 99:
Page 100 and 101:
92 KAPITEL 7. AFRUNDING derfor kunn
Page 102 and 103:
[Wei91] Giordano Weir. Differential
Page 104 and 105:
Dermed er (G ◦ f) ′ (t) = G ′
Page 106 and 107:
Eftersom ε(h) = g(a + h) − g(a)
Page 108 and 109:
A.3 Middelværdisætning For at bev
Page 110 and 111:
A.4 Taylors formel Dette appendiks
Page 112 and 113:
Da F er p gange differentiabel p˚a
Page 114 and 115:
1 = b0 + ∆t kb11 + 2(kb12 + kb13)
show all

Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?