Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

18 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGHED
Herunder er et bevis for punkt 2:
(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab ≥ a 2 + b 2 ⇒
a 2 + b 2 ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|
Følgende sætning handler om en tilstrækkelig betingelse for, at en funktion
opfylder en lokal Lipschitz-betingelse [Jen93].
Sætning 2.12 Lokal Lipschitz-betingelse
Lad U ⊆ R 3 være en ˚aben mængde og
f : U → R 2 en funktion, for hvilken følgende partielle afledede eksisterer
og er kontinuerte:
∂f
(t, x) og
∂x
∂f
∂y (t, x), hvor (t, x) ∈ U og x = [ x y ]
P˚a enhver ˚aben delmængde U ′ = ]tα, tω[×]xα, xω[×]yα, yω[ ⊆ U, for
hvilken U ′ ⊆ U, opfylder f en lokal Lipschitz-betingelse:
∃KU ′ > 0, ∀(t, u), (t, v) ∈ U ′ : f(t, u) − f(t, v) ≤ KU ′||u − v||
Bevis. I nedenst˚aende er f(t, x, y) en anden notation for funktionen f(t, x),
hvor x, y er henholdsvis første og anden komponent i x.
Mængden U ′ er begrænset, hvilket betyder, at
I henhold til definition 2.10 følger, at
Dermed f˚as, at
∃c ∈ U, r > 0 : U ′ ⊆ Br(c)
Br(c) ⊆ Br(c)
U ′ ⊆ U ′ ⊆ Br(c) ⊆ B2r(c)
Dermed er U ′ begrænset. Det betyder i henhold til sætning 4.1.6 i [Coh03], at
(t, x) be-
U ′ er kompakt, idet mængden ogs˚a er lukket. Derfor er ∂f
∂x
grænsede p˚a U ′ , eftersom ∂f
∂x
(t, x) og ∂f
∂y
og ∂f
∂y (t, x) begrænsede p˚a U ′ , idet U ′ ⊆ U ′ :
(t, x) og ∂f
∂y
(t, x) er kontinuerte. S˚aledes er ∂f
∂x
(t, x)
∃ ˜ KU ′, ˜ KU ′ > 0, ∀(t, x) ∈ U ′ :
∂f
(t, x)
∂x
≤ ˜
KU ′ og
∂f
(t, x)
∂y
≤ ˜ KU ′ (2.15)
Lad f1 og f2 benævne henholdsvis første og anden komponent af f. For alle