Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

Recommendations

Info

48 Det resulterer i, at KAPITEL 3. LINEÆRE, PLANE DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER lim t→∞ λt 1 0 k3e = 0 0 t 0 = 1 0 λt lim k2e t→∞ Dermed g˚ar alle løsninger mod origo, n˚ar t → ∞. Omvendt vil samtlige løsninger fjerne sig fra origo for t → ∞, n˚ar λ > 0. Figur 3.7 viser et faseportræt af et system med gentagen negativ egenværdi. Figur 3.7: Faseportræt af et system med gentagen negativ egenværdi 3.2.4 Løsning af et vilk˚arligt plant, lineært system I afsnit 3.2 blev den generelle løsning til x ′ = Ax udledt, hvor A var p˚a kanonisk form. I dette afsnit vises, hvordan vi ud fra kendskab til den generelle løsning for et system med en matrix p˚a kanonisk form, kan finde frem til den generelle løsning for alle systemer repræsenteret af (2×2)-matricer. Til dette skal følgende definition bruges: Definition 3.10 Konjugerede matricer og systemer En matrix A er konjugeret med en anden matrix B via en invertibel matrix T , hvis T −1 AT = B Et system repræsenteret ved A siges her at være konjugeret med systemet repræsenteret ved B. Det viser sig, at løsninger til systemer repræsenteret af to konjugerede matricer har en direkte sammenhæng. Sammenhængen beskrives i formelle termer i følgende sætning:
3.2 Systemer med kanoniske matricer 49 Sætning 3.11 Løsninger til konjugerede systemer Lad T være en invertibel matrix. Betragt det lineære differentialligningssystem y ′ = (T −1 AT )y Lad y(t) være en løsning til systemet, s˚a er T y(t) en løsning til x ′ = Ax. Bevis. Antag, at y(t) er en løsning til y ′ = (T −1 AT )y, hvor T er en invertibel matrix, s˚a gælder, at: (T y(t)) ′ = T y ′ (t) = T (T −1 AT )y(t) = A(T y(t)) Det første lighedstegn skyldes, at differentiation er en lineær operation, jf. sætning 4.10 i [Wad04]. Hermed er det ønskede bevist. Sætning 3.11 betyder, at hvis der eksisterer en invertibel matrix, s˚a et givent system repræsenteret af matricen B er konjugeret med et andet system repræsenteret af matricen A, hvis generelle løsning kendes, kan den generelle løsning til systemet x ′ = Bx findes. 3.2.5 Den invertible matrix I det følgende vil vi gennemg˚a, hvorledes det altid er muligt at finde en invertibel matrix, s˚a en vilk˚arlig matrix kan konjugeres med et system, som har en generel løsning, der er kendt. Fremgangsm˚aden er delt op i tre tilfælde afhængig af, hvilken af de følgende tre kategorier egenværdierne for matricen tilhører: • Reelle og forskellige egenværdier • Komplekse egenværdier • Én egenværdi med algebraisk multiplicitet 2. Vi vil herunder gennemg˚a hvert tilfælde. Reelle og forskellige egenværdier Lad A være en matrix med to reelle egenværdier λ1 og λ2, hvor λ1 = λ2, med tilhørende egenvektorer v1 og v2. Lad endvidere T være den matrix, som har søjlerne v1 og v2, dvs. T = v1 v2 . S˚aledes gælder, at T e1 = v1 ⇒ T −1 v1 = e1 T e2 = v2 ⇒ T −1 v2 = e2 Her angiver e1 og e2 vektorerne i standardbasen i R 2 . Dermed gælder følgende: (T −1 AT )ei = T −1 Avi = T −1 (λivi) = λiT −1 vi = λiei, hvor i = 1, 2. Det betyder, at T −1 λ1 0 AT = 0 λ2
Page 1:
Plane Differentialligningssystemer
Page 5: Forord Dette projekt er udarbejdet
Page 8 and 9: viii INDHOLD 6 Numerisk approksimat
Page 10 and 11: 2 INDHOLD værktøjer til at analys
Page 12 and 13: 4 KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL DIFFE
Page 18 and 19: 10 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGH
Page 39 and 40: Kapitel 3 Lineære, plane different
Page 41 and 42: 3.1 Plane systemer af differentiall
Page 47 and 48: 3.2 Systemer med kanoniske matricer
Page 55: 3.2 Systemer med kanoniske matricer
Page 61 and 62: 3.3 Klassifikation 53 ved dens spor
Page 63 and 64: Kapitel 4 Linearisering Vi vil i de
Page 65 and 66: Vi kan nu baseret p˚a [Wad04] bevi
Page 67 and 68: 4.1 Linearisering 59 f2(x1, x2) omk
Page 69 and 70: 4.1 Linearisering 61 I dette system
Page 71 and 72: 4.1 Linearisering 63 Da λ,x > 0 f
Page 73 and 74: 4.2 Lotka-Volterra 65 P˚a samme m
Page 75 and 76: 4.2 Lotka-Volterra 67 Af figur 4.3
Page 77 and 78: Kapitel 5 Stabilitet Vi har i forri
Page 79 and 80: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 71 5.1
Page 81 and 82: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 73 Som
Page 83 and 84: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 75 Ide
Page 85 and 86: 5.2 Lotka-Volterra 77 Derfor kan de
Page 87 and 88: 5.2 Lotka-Volterra 79 M b n () g(b)
Page 89: 5.3 Opsummering 81 5.3 Opsummering
Page 92 and 93: 84 KAPITEL 6. NUMERISK APPROKSIMATI
Page 100 and 101: 92 KAPITEL 7. AFRUNDING derfor kunn
Page 102 and 103: [Wei91] Giordano Weir. Differential
Page 104 and 105: Dermed er (G ◦ f) ′ (t) = G ′
Page 106 and 107:
Eftersom ε(h) = g(a + h) − g(a)
Page 108 and 109:
A.3 Middelværdisætning For at bev
Page 110 and 111:
A.4 Taylors formel Dette appendiks
Page 112 and 113:
Da F er p gange differentiabel p˚a
Page 114 and 115:
1 = b0 + ∆t kb11 + 2(kb12 + kb13)
show all

Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?