Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

4.1 Linearisering 63
Da λ,x > 0 f˚as, at x ′ > 0 p˚a højre side af grænsen af keglen.
For at vise hvad der sker med y ′ p˚a højre side af grænsen af C, vælges ε, s˚a
∀(x, y) ∈ Bε : |g2(x, y)| ≤ µ
2 √ 2 r
Langs den højre side af grænsen af C, dvs. hvor y > 0, f˚as:
y ′ = −µy + g2(y, y)
≤ −µy + |g2(y, y)|
≤ −µy + µ
2 √ 2 r
y 2 + y 2
= −µy + µ
2 √ 2
= −µy + µ
2 √ 2 y√2 = −µy + µy
2
= − µy
2
Eftersom −µ < 0, og y > 0, betyder det, at y ′ < 0
Der gælder s˚aledes, at vektorfeltet peger nedad og til højre p˚a den del af kanten
af C, der ligger i 1. kvadrant, n˚ar ε vælges til at være det mindste af de to
foresl˚aede. Dette betyder, at vektorfeltet peger udenfor C for punkter, der ligger
p˚a grænsen.
Det er p˚a samme m˚ade muligt at vise, at for alle andre kanter p˚a C peger
vektorfeltet ogs˚a udenfor C. Hermed er det ønskede bevist. P˚a figur 4.1 fremg˚ar
det, hvordan vektorfelterne opfører sig langs kanterne af C.
−ε
y
ε
−ε
y = x
Figur 4.1: Keglen C og vektorfelterne langs kanterne.
Bevis for punkt 2:
Det vises først, at y ′ < 0 i C + :
ε
x