Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen
Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen
Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Eftersom Dg(a) er en lineær operator, kan sætning 8.17 i [Wad04] anvendes:<br />
||Dg(a)(h)|| + ||ε(h)|| ≤ ||Dg(a)|| · ||h|| + ||ε(h)||<br />
Samlet set gælder derfor følgende:<br />
Udtrykket ||k||<br />
||h||<br />
||k|| ≤ ||Dg(a)|| · ||h|| + ||ε(h)||<br />
er begrænset, da<br />
∃µ ∈ R+ : ||k||<br />
||ε(h)||<br />
≤ ||Dg(a)|| + ≤ ||Dg(a)|| + 1 for ||h|| < µ<br />
||h|| ||h||<br />
Da ||k|| = ||g(a + h) − g(a)||, betyder det, at k → 0 i Rm , n˚ar h → 0 i Rn . Ved<br />
at forlænge brøken ||T2(h)||<br />
||h|| med ||k|| og indsætte, at T2(h) = δ(k) f˚as følgende:<br />
Da ||k||<br />
||h||<br />
0, gælder at<br />
T2(h)<br />
||h||<br />
||k|| ||δ(k)||<br />
= ·<br />
||h|| ||k||<br />
er begrænset, n˚ar h er tilstrækkelig lille, og grænseværdien til ||δ(k)||<br />
||k|| er<br />
T2(h)<br />
||h||<br />
||k|| ||δ(k)||<br />
= · → 0 n˚ar h → 0<br />
||h|| ||k||<br />
Det kan hermed konkluderes, at f ◦ g er differentiabel i punktet a, og Jacobimatricen<br />
er entydig bestemt ved Df(g(a))Dg(a). Hermed er sætningen bevist.