Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

4.1 Linearisering 61
I dette system har begge egenværdier en realdel, som er forskellig fra 0. Dermed
har vi et hyperbolsk ligevægtspunkt. For det lineariserede system er origo ligevægtspunkt.
Eftersom λ er positiv, er x-aksen den ustabile akse, og y-aksen er
den stabile akse, da −µ er negativ.
Det er ikke sikkert, at y- og x-aksen tjener som henholdsvis stabil og ustabil
akse i det ikke-lineære tilfælde. Men i henhold til lineariseringssætning 4.7, som
gælder, da vi har et hyperbolsk ligevægtspunkt, eksisterer der nogle kurver med
lignende egenskaber.
Vi lader W s (0) betegne mængden af begyndelsesbetingelser, hvis løsninger g˚ar
mod origo, n˚ar t → ∞. Dermed er W s (0) den stabile kurve. P˚a samme m˚ade
lader vi W u (0) benævne mængden af begyndelsesbetingelser, hvis løsninger g˚ar
mod origo for t → −∞. Hermed er W u (0) den ustabile kurve.
Vi ønsker at bevise, at løsninger i nærheden af en ikke-lineær sadel i høj grad
opfører sig som i det lineære tilfælde. Den følgende sætning udtaler sig om den
stabile kurve. P˚a samme m˚ade er det muligt at opstille en sætning for den
ustabile kurve [HSD04]. Det har vi imidlertid fravalgt at gøre her.
Sætning 4.8 Den stabile kurvesætning
Givet systemet
Antag, at −µ < 0 < λ og gj(x,y)
x ′ = λx + g1(x, y)
y ′ = −µy + g2(x, y)
r
→ 0 for r → 0. I s˚a fald gælder, at
der eksisterer ε > 0 og en kurve x = h s (y), som er defineret for |y| < ε
og opfylder, at h s (0) = 0. Desuden gælder følgende tre ting:
1. Samtlige løsninger, hvis begyndelsesbetingelser ligger p˚a denne
kurve, vil blive p˚a denne kurve for alle t ≥ 0, og de vil nærme sig
origo, n˚ar t → ∞.
2. I origo er y-aksen tangent til kurven h s (y).
3. Alle andre løsninger, hvis begyndelsesbetingelser ligger p˚a en
cirkelskive, der har origo som centrum og en radius ε, vil forlade
denne cirkelskive, n˚ar t vokser.
Kurven x = h s (y) kaldes den lokale stabile kurve i 0. Ved at følge løsninger
p˚a den lokale stabile kurve tilbage i tiden er det muligt at bestemme hele den
stabile kurve W s (0). Grunden til at den lokale stabile kurve udtrykkes som en
funktion af y, er, at vi i et lineært tilfælde ikke vil kunne skrive den som en
funktion af x.
Bevis. Lad Bε betegne kvadratet, der er begrænset af x = ±ε og y = ±ε:
Bε = {(x, y) ∈ R 2 | − ε ≤ x ≤ ε, −ε ≤ y ≤ ε}
Lad S ± ε betegne øvre og nedre grænse af Bε:
S ± ε = {(x, y) ∈ R 2 | − ε ≤ x ≤ ε, |y| = ε}