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4.5 Genauigkeit
Dies ist auch in Formel 4.14 zu erkennen, denn die zweite Ableitung ist in diesem
Fall positiv. Eine Überschätzung beinahe aller Variablen 6 bedeutet eine
kürzere Zündverzugszeit. Diese theoretische Betrachtung wird eindrucksvoll
in Abbildung 4.10 bestätigt: alle interpolierten Reaktionsverläufe zeigen eine
schnellere Reaktion als der korrekte Verlauf. Außerdem besitzt die Tabelle mit
der gröbsten Diskretisierung (siehe Tabelle 4.11) die größte Abweichung.
Die Wahl der Diskretisierung ist von großer Bedeutung, was den Speicherplatzbedarf
und die Genauigkeit der Tabelle betrifft. Eine gleichmäßig bessere
Diskretisierung aller 12 Achsen würde zwar die Genauigkeit erhöhen, allerdings
auch den Speicherplatzbedarf der ohnehin großen Tabelle exponentiell
anwachsen lassen. Da die unterschiedlichen Variablen mit verschiedener Sensitivität
auf das Ergebnis reagieren, ist es sinnvoll, die Diskretisierung den jeweiligen
Variablen anzupassen. Als wichtigste Variablen haben sich die Temperatur
und die Radikale H, O und OH erwiesen, weshalb auf diesen Achsen
eine höhere Anzahl an Stützstellen gewählt wurde. Dieses Vorgehen gilt auch
für die im folgenden Abschnitt beschriebene Extrapolation.
Extrapolation
Die lineare Extrapolation in einer Dimension geht aus einer abgeschnittenen
Taylor-Reihe hervor. Die (eindimensionale) Taylor-Reihe lautet:
f (x)= f (x 0 )+ f ′ (x 0 )
1!
(x− x 0 )+ f ′′ (x 0 )
2!
(x− x 0 ) 2 + ...+ f (n) (x 0 )
(x− x 0 ) n + R n (x).
n!
(4.15)
Das Restglied R n (x) stellt den Fehler für eine an n-ter Ordnung abgeschnittene
Reihe dar
R n (x)= f (n+1) (ξ)
(n+ 1)! (x− x 0) (n+1) , (4.16)
mit einer zwischen x und x 0 gelegenen Zahl ξ. Wird die Reihe nach dem Term
mit der ersten Ableitung abgeschnitten, entsteht ein Fehler-Term 2. Ordnung:
R 2 (x)= f ′′ (ξ)
(x− x 0 ) 2 . (4.17)
2!
Der Fehler wächst demnach quadratisch mit dem Abstand (x−x 0 ), wird aber
auch bei kleinem Abstand quadratisch kleiner. Dieses Verhalten ist deutlich in
6 nicht bei den Edukten O 2 , H 2 und N 2
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