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Grundlagen stark von der Modellierung dieser ungeschlossenen Terme ab. Aus numerischer Sicht stellt dieses Modell eine Besonderheit dar, denn durch die hohe Dimensionalität von Gleichung 2.56 kann es nicht mit Finite-Volumen oder Finite-Differenzen Verfahren gelöst werden [Pet00]. Stattdessen kommen sog. Monte-Carlo Methoden zum Einsatz, die durch eine große Anzahl N von Lagrange-Partikeln die PDF und deren Transport simulieren. Der Nachteil des Monte-Carlo Verfahrens ist, dass der statistische Fehler proportional zu 1/ N z ist, wobei N z die Zahl der Partikel pro Zelle ist. Somit ist aber dieses relativ genaue Verfahren durch die sehr hohe Anzahl der notwendigen Lagrange-Partikel auch sehr kostspielig. 2.5 Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion 2.5.1 Eindimensionale Verteilung In turbulenten Strömungen transportierte Skalare verhalten sich, ähnlich dem Geschwindigkeitsvektor, wie stochastisch fluktuierende Variablen. Das Auftreten verschiedener Werte dieser Variablen kann durch deren Wahrscheinlichkeit charakterisiert werden. Bezeichnet Y eine stochastische Variable und Z deren Zustandsraumvariable, dann ist F (Z) die Wahrscheinlichkeit P , einen Wert zu finden, für den Y Z a . (2.57) Die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Wert Y in einem Intervall Z a ≤ Y < Z b zu finden, ist gegeben durch: P (Z a ≤ Y ≤ Z b )=F (Y < Z b )−F(Y < Z a ). (2.58) Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion P ist die Ableitung der entsprechenden Verteilungsfunktion: dF (Z) P (Z)≡ dZ . (2.59) 36
2.5 Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion Y(t) Z Z Y t 1 F(Z) P(Z) Abbildung 2.9: Zeitlich fluktuierende Variable Y mit entsprechender Verteilungsfunktion F und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion P . Da F (Y
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