pdf-download - Lehrstuhl für Thermodynamik - Technische ...

2.5 Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
y
1
y
1
-1
0 1
x
-1
0 1
x
Abbildung 2.10: Während die Heaviside-Funktion eine Stufenform besitzt
(links), kann der Verlauf der Dirac-Funktion nicht dargestellt,
sondern nur angedeutet werden (rechts).
2.5.4 Gauß-Verteilung
Die Gauß-Verteilung (Gleichung 2.76), oder auch Normalverteilung, ist die
am häufigsten anzutreffende Wahrscheinlichkeitsverteilung in den Ingenieurund
Naturwissenschaften. Ihre Form wird durch die zwei Parameter Mittelwert
und Varianz σ bzw. Standardabweichung s = σ bestimmt. Das zentrale
Moment 4. Ordnung ist 3 und das zentrale Moment 6. Ordnung ist 15. Da
die Verteilung symmetrisch ist, sind alle ungeraden zentralen Momente gleich
Null.
P (x)= 1
]
(x− ¯x)2
exp
[− (2.76)
2πσ 2σ
Der Definitionsbereich der Verteilung erstreckt sich von −∞ ≤ x ≤ +∞, was
bei den meisten Anwendungen nicht mit dem Definitionsbereich der fluktuierenden
Variablen übereinstimmt. Da die Normalverteilung an den Rändern
sehr schnell gegen Null abfällt, wird sie meistens nur innerhalb eines Vielfachen
der Standardabweichungen ausgewertet (zum Beispiel liegen 99,73%
aller Zustände innerhalb von drei Standardabweichungen vom Mittelwert).
Alternativ kann die Gauß-Verteilung auch abgeschnitten werden, wenn ein
nicht zu vernachlässigender Anteil der Verteilung außerhalb des Definitionsbereiches
der Variablen liegt. Eine solche abgeschnittene Verteilung wird in
Abschnitt 3.2 näher erläutert.
In Abbildung 2.11 sind mehrere Verteilungen mit unterschiedlichen Varianzen
dargestellt. Die Gauß-Verteilung hat nicht die Formenvielfalt einer β-
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