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Das assumed-PDF Verbrennungsmodell
Wie in der Transportgleichung für σ T wird für die inverse turbulente Zeitskala
1/τ=ε/k verwendet, und der lineare Zusammenhang zur skalaren Dissipationsrate
mit einem Faktor C Y abgeschätzt. Für diese Konstante wird der Wert
C Y = 2,0 empfohlen, sie kann aber lokal in einem Intervall von 0,5 – 2,0 liegen
[Di 07].
Entsprechend dem Term C T in Gleichung 3.7 benötigt der Senken- bzw.
Quellterm C Y eigentlich keine Modellierung, da er aus der bekannten PDF
eindeutig bestimmt werden kann. Dennoch wird auch dieser Term zu Null gesetzt,
da die PDF nur in erster Näherung korrekt ist. Untersuchungen zur Genauigkeit
der Form der multivariaten β-Verteilung werden in Abschnitt 3.3.4
beschrieben.
3.3.3 Analytische Lösbarkeit
Neben dem Vorteil, nur eine einzige zusätzliche Transportgleichung zu benötigen,
hat der Ansatz noch einen weiteren Vorteil: Es existiert eine analytische
Lösung für das Integral dieser multivariaten PDF. Die Speziesfluktuationen
werden mit der in Gleichung 3.8 dargestellten multivariaten β-Verteilung
beschrieben und haben durch den Term in Gleichung 3.19 Einfluss auf die
Reaktionskinetik. Auch hier entfällt die Unterscheidung zwischen Hin- und
Rückreaktion. Es gilt:
N∏
s +1
s=1
( ¯ρYs
M s
) νsr
=
∏N s
s=1
( ¯ρ
M s
) νsr ∫
c ν Ns+1r
N s +1r
∏N s
s=1
Ŷ ν sr
s P Y (Ŷ 1 ,...,Ŷ N )dŶ 1 ...dŶ N . (3.19)
Die eventuell an der Reaktion teilnehmenden inerten Drittstoßpartner werden
durch deren Konzentration c Ns +1r berücksichtigt. Bei einer Zweier-
Reaktion entfällt dieser Ausdruck, da sein Exponent gleich Null gesetzt wird.
Das Integral lässt sich in ein Produkt von Gamma-Funktionen umwandeln
und ist somit analytisch lösbar. Mit der Beziehung 2.79 kann dieser Term noch
vereinfacht werden, so dass sich alle Gamma-Funktionen herauskürzen. Eine
genaue Herleitung ist bei Gerlinger [Ger05] zu finden. Danach ergibt sich für
den gesamten chemischen Quellterm folgende Vorschrift:
∑N r
˙ω s = M s
(ν ′′
r=1
sr − ν′ sr )(T 1f T 2f T 3f T 4f − T 1b T 2b T 3b T 4b ) (3.20)
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