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4.4 Datenextraktion
Zelle gebildet werden. Dabei können höhere Ableitungen durch Ableitungen
niedrigerer Ordnung substituiert werden:
a i = ∂f
∂ψ i
= f (ψ i = 1)− f (ψ i = 0)
∆ψ i
mit ∆ψ i ≡ 1 (4.8)
a i ,j = ∂2 f
= ∂f ∣ ∣∣∣ψj
− ∂f ∣ ∣∣∣ψj
. (4.9)
∂ψ i ∂ψ j ∂ψ i =1 ∂ψ i =0
Dieses Verfahren liefert ein Polynom mit 2 n Monomen. Jedes dieser Monome
besitzt die oben beschriebenen Koeffizienten, welche aus den Funktionswerten
an den Stützstellen der Zelle berechnet werden. Um den Vorgang der
Datenextraktion zu beschleunigen, werden in der Tabelle statt der 2 n Funktionswerte
die 2 n Koeffizienten abgelegt, so dass deren rekursive Berechnung
nur einmal durchgeführt werden muss.
Durch die exponentielle Zunahme der Terme mit der Anzahl der Dimensionen
ist die multilineare Interpolation allerdings für hohe Dimensionen nicht
mehr praktikabel. Denn durch den hohen Aufwand beim Auslesen der Daten
verletzt sie die eingangs erwähnte Grundvoraussetzung für die Anwendbarkeit
der Tabellierung. Werden bei n=5 noch 32 Monome addiert und dabei
80 Multiplikationen durchgeführt, sind es bei n=10 schon 1024 Monome und
5120 Multiplikationen pro auszulesender Variablen. Dieser Rechenaufwand
liegt durchaus im Bereich der direkten Berechnung mittels ODE-Solver.
4.4.2 Extrapolation
Wie im obigen Abschnitt gezeigt wurde, ist die multilineare Interpolation nur
für niedrige Dimensionen sinnvoll anwendbar, da der numerische Aufwand
exponentiell mit der Anzahl der Dimensionen steigt. Eine Alternative ist die
Vernachlässigung der höheren gemischten Ableitungen aus Gleichung 4.7,
was aber gleichzeitig die Genauigkeit dieses Verfahrens herab setzt. Dieses
Problem kann durch die Verwendung der linearisierten Extrapolation behoben
werden. Diese sei am eindimensionalen Fall kurz erklärt: Anstatt zwischen
zwei Funktionswerten f (x 1 ) und f (x 2 ) zu interpolieren, werden von einem
Aufpunkt f (x 0 ) aus mit Hilfe der ersten Ableitung f ′ (x 0 ) die umgeben-
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