pdf-download - Lehrstuhl für Thermodynamik - Technische ...

2.5 Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
2.5.2 Multivariate Verteilung
Im obigen Abschnitt wurden einige grundlegende Eigenschaften am Beispiel
der PDF einer Variablen erläutert. PDFs sind aber nicht nur auf eine Dimension
beschränkt, sondern können auch von mehreren stochastischen Variablen
abhängig sein. Eine solche multivariate PDF wird auch JPDF 9 (engl.: joint probability
density function) genannt. Neben den oben aufgeführten grundlegenden
Eigenschaften bringen JPDFs zusätzliche Zusammenhänge mit sich.
Für eine zwei-dimensionale JPDF P (Y) sind die Funktionswerte, genau wie
im eindimensionalen Fall, wie folgt begrenzt:
P (Y)=P (Y 1 ,Y 2 )≥0. (2.66)
Das Integral über P (Y) ist ebenfalls Eins:
∫∫
P (Y 1 ,Y 2 )dY 1 dY 2 = 1. (2.67)
Außerdem gilt die folgende Gesetzmäßigkeit:
∫∫
P (Y 1 ,Y 2 )dY 1 = P ∗ (Y 2 ). (2.68)
Gleichung 2.68 beschreibt eine sog. Randverteilung (engl.: marginal pdf ). Diese
beschreibt die Verteilung für die Variable Y 2 unabhängig von der Variablen
Y 1 . Es kann also aus einer JPDF die Randverteilung jeder einzelnen Variablen
bestimmt werden, oder allgemeiner: aus einer n-dimensionalen JPDF eine m-
dimensionale JPDF mit m < n. Während eine Randverteilung das gesamte
Auftreten einer Variablen wiedergibt, wird mit einer bedingten Wahrscheinlichkeitsverteilung
(engl.: conditional pdf ) P (Y 1 |Y 2 ) das Auftreten des Ereignisses
Y 1 mit der Nebenbedingung Y 2 = α beschrieben.
P (Y 1 ,Y 2 )=P (Y 1 |Y 2 = α)P ∗ (Y 2 ) (2.69)
Gleichung 2.69 wird Bayes Theorem genannt. Sie gibt die Gesetzmäßigkeit
wieder, dass eine JPDF als Produkt einer Randverteilung und einer entsprechenden
bedingten PDF geschrieben werden kann.
9 oder im Deutschen Verbundwahrscheinlichkeitsdichte
39