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Das assumed-PDF Verbrennungsmodell
sind die zusätzlichen Formparameter β 1 und β 2 , welche unbekannt sind. Daher
hat sich die Gauß-Verteilung als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für
die Temperatur durchgesetzt [Ger03,BAH94]. Der einzige Formparameter der
Gauß-Verteilung (siehe Abschnitt 2.5.4) ist die Varianz. Die Varianz der Temperatur
schreibt sich zu
σ T = ˜T ′′2 . (3.5)
Sie ist einer der wichtigsten Parameter dieses Verbrennungsmodells.
Da sich die Gauß-Verteilung bis±∞ erstreckt, müssen die Gebiete außerhalb
des Gültigkeitsbereichs 2 der Temperatur bzw. der Geschwindigkeitskoeffizienten
abgeschnitten werden. In Gleichung 3.6 ist eine Verteilung dargestellt,
welche die Heaviside-Funktion H beinhaltet. Dadurch wird die PDF auf einen
Bereich oberhalb von T min und unterhalb von T max begrenzt:
P T (T ) =
1
exp
[− (T − ˜T ) 2 ]
[H(T − T mi n )− H(T − T max )]
2πσT 2σ T
+A 1 δ(T − T mi n )+ A 2 δ(T − T max ). (3.6)
Die abgeschnittenen Flächen A 1 und A 2 werden an den Rändern durch eine
Dirac-Funktion δ wieder hinzuaddiert. Dies ist in Abbildung 3.2 anhand
der roten Kurve dargestellt, welche eine besonders hohe Standardabweichung
besitzt. Die Mehrzahl der Kurven muss nicht abgeschnitten werden, da diese
Verteilungen numerisch nur bis ±4 σ T berechnet werden und die Limits
T min und T max nicht erreichen. Um die Temperaturverteilung bestimmen zu
können, wird neben der gemittelten Temperatur ˜T die Varianz der Temperatur
benötigt. Zur Berechnung dieser Varianz wird eine Transportgleichung für
diese Größe gelöst. Prinzipiell ist es möglich σ T auch aus anderen Energievariablen
abzuleiten, z.B. aus Transportgleichungen der Varianz der spezifischen
Enthalpie h oder der spezifischen inneren Energie e. Hierbei entstehen
jedoch größere Probleme bei der Modellierung unbekannter Terme als bei der
direkten Berechnung der Temperaturvarianz. Die von Gerlinger [Ger03] vor-
2 Die Temperatur besitzt als Untergrenze den absoluten Nullpunkt, daher ist T min = 0K . Die Obergrenze in
einer Hochenthalpie-Strömung mit Verbrennung kann grob mit T max = 5000K abgeschätzt werden. Deutlich
enger fallen die Grenzen aus, die durch den Reaktionsmechanismus vorgegeben werden. Diese Mechanismen
sind oft nur in einem Bereich von ca. 800 K - 2000 K validiert [Ger08].
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