pdf-download - Lehrstuhl für Thermodynamik - Technische ...

Grundlagen
Statistische Schwankungen, die auf den Mittelwert bezogen werden, sind die
sog. zentralen Momente, die wie folgt bestimmt werden:
(Y − Y ) n =
∫ +∞
−∞
(Y − Y ) n P (Y)dY. (2.63)
Das erste zentrale Moment ist per Definition gleich Null. Das zweite zentrale
Moment ist die Varianz σ und wird berechnet mit
(Y − Y ) 2 = σ=
∫ +∞
−∞
(Y − Y ) 2 P (Y)dY. (2.64)
Das dritte zentrale Moment ist die Schiefe. Diese beschreibt die Unsymmetrie
der Verteilung. Weitere höhere Momente von Belang sind für n=4 die Flachheit
(engl.: flatness) und n=6 die Superschiefe (engl.: superskewness) [Ger05].
Neben diesen zentralen Momenten wird häufig die Standardabweichung s mit
s = σ (2.65)
verwendet. Ähnlich wie die Varianz, enthält sie eine Aussage über die Stärke
der mittleren Fluktuationen. Da sie aber dieselbe Einheit wie die fluktuierende
Größe besitzt, ist die Standardabweichung leichter interpretierbar. Die Standardabweichung
der Variablen Y ist identisch mit dem rms-Wert (engl.: root
mean square) von Y ′ .
Im Allgemeinen enthält eine PDF keine Informationen über die räumliche
und zeitliche Verteilung der fluktuierenden Variablen, weil sie als Ensemble-
Mittelwert aus N Wiederholungen eines stochastischen Vorgangs ermittelt
wird. Die Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung kann somit als Ein-Punkt-
Eine-Zeit-PDF (engl.: one point one time pdf ) beschrieben werden. Im Falle
eines Experiments zur Messung einer Strömungsvariablen hieße das, dasselbe
Experiment N mal durchzuführen, um am selben Ort und jeweils zur selben
Zeit die Einzelereignisse zu messen. Dieses sehr aufwändige Verfahren ist in
der Praxis nicht gebräuchlich. Stattdessen wird im selben Experiment N mal
nacheinander gemessen, was auch aus Abbildung 2.9 hervorgeht. Somit ergibt
sich eine Ein-Punkt PDF, welche für einen Ort ⃗x zeitliche Schwankungen
enthält.
38