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2.3 Turbulente Strömungen
Das RSM-Modell ist in der Lage, im Rahmen der Genauigkeit der Modellierung,
anisotrope Turbulenz wiederzugeben. Es eignet sich u.a. für drallbehaftete
Strömungen oder für Strömungen mit stark gekrümmte Stromlinien
[Flu05, Fri00, Pop00].
Einen anderen Weg in der statistischen Turbulenz-Modellierung gehen
die Wirbelviskositäts-Modelle, welche die Auswirkungen des Reynoldsschen
Spannungstensors auf die Strömung betrachten und diesen dahingehend modellieren.
Der Reynoldssche Spannungstensor wird in Analogie zur molekularen
Viskosität über die Boussinesq-Approximation bestimmt:
− ¯ρ u ′′
i u′′ j = µ t
( ∂ũi
+ ∂ũ j
− 2 )
∂x j ∂x i 3 δ ∂ũ k
i j − 2 ∂x k 3 δ i j ¯ρk . (2.33)
Die Berechnung von µ t kann über Nullgleichungs-, Eingleichungs- oder Zweigleichungsmodelle
geschehen. Das am weitesten verbreitete statistische Turbulenzmodell
ist das Zweigleichungsmodell von Jones und Launder (1972),
das sog. k− ε Modell. Die Summe der Diagonalelemente des Reynoldsschen
Spannungstensors wird als turbulente kinetische Energie
k = 1 2
ρu ′′
i u′′ i
¯ρ
(2.34)
bezeichnet. Wenn in der Transportgleichung des Spannungstensors die Fluktuationen
gleicher Geschwindigkeitskomponenten (i=j) eingesetzt werden,
führt dies zu einer Transportgleichung für die turbulente kinetische Energie:
∂
∂t ( ¯ρk)+ ∂ ( ¯ρkũ j )=−ρu ′′ ∂ũ i
i
∂x u′′ j
j ∂x j
− ∂ ( 1 ∂x j 2 ρu′′ i u′′ i u′′ j + u′ j p′ − u ′ j τ′ i j )−u′′ i ( ∂ ¯p − ∂τ i j
)+ p ′ ∂u′ j ∂u ′
− τ ′ i
i j
.
∂x i ∂x j ∂x j ∂x j
(2.35)
Auf der rechten Seite sind die Terme von links nach rechts: Produktion der Turbulenzenergie
(P k ), turbulente Diffusion, Kompressibilitätseffekte und turbulente
Dissipation. Wegen der herausragenden Bedeutung der turbulenten Dissipation
in der Theorie der Turbulenz ist es sinnvoll diese Größe so genau wie
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