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Grundlagen
stark von der Modellierung dieser ungeschlossenen Terme ab. Aus numerischer
Sicht stellt dieses Modell eine Besonderheit dar, denn durch die hohe
Dimensionalität von Gleichung 2.56 kann es nicht mit Finite-Volumen
oder Finite-Differenzen Verfahren gelöst werden [Pet00]. Stattdessen kommen
sog. Monte-Carlo Methoden zum Einsatz, die durch eine große Anzahl N
von Lagrange-Partikeln die PDF und deren Transport simulieren. Der Nachteil
des Monte-Carlo Verfahrens ist, dass der statistische Fehler proportional
zu 1/ N z ist, wobei N z die Zahl der Partikel pro Zelle ist. Somit ist aber dieses
relativ genaue Verfahren durch die sehr hohe Anzahl der notwendigen
Lagrange-Partikel auch sehr kostspielig.
2.5 Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
2.5.1 Eindimensionale Verteilung
In turbulenten Strömungen transportierte Skalare verhalten sich, ähnlich dem
Geschwindigkeitsvektor, wie stochastisch fluktuierende Variablen. Das Auftreten
verschiedener Werte dieser Variablen kann durch deren Wahrscheinlichkeit
charakterisiert werden. Bezeichnet Y eine stochastische Variable und
Z deren Zustandsraumvariable, dann ist F (Z) die Wahrscheinlichkeit P , einen
Wert zu finden, für den Y Z a . (2.57)
Die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Wert Y in einem Intervall Z a ≤ Y <
Z b zu finden, ist gegeben durch:
P (Z a ≤ Y ≤ Z b )=F (Y < Z b )−F(Y < Z a ). (2.58)
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion P ist die Ableitung der entsprechenden
Verteilungsfunktion:
dF (Z)
P (Z)≡
dZ . (2.59)
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