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2.3 Turbulente Strömungen
Zwei-Punkt Geschwindigkeits-Korrelation durchgeführt werden:
R i j (⃗x,⃗r , t )=u ′ i (⃗x, t )u′ (⃗x+⃗r , t ). (2.10)
j
Dabei werden gleichzeitig die Fluktuationen der Geschwindigkeitskomponenten
an den Orten ⃗x und ⃗x +⃗r bestimmt und deren Produkt zeitlich gemittelt.
Überschreitet die Reynolds-Zahl einen bestimmten Wert, kann von
isotroper Turbulenz ausgegangen werden. Für die homogene isotrope Turbulenz
kann folgende entdimensionierte Korrelation mit dem Betrag r = |⃗r|
angeschrieben werden:
f (r, t )=R(r, t )/ u ′2 (r = 0, t ). (2.11)
Ein qualitativer Verlauf dieser Funktion ist in Abbildung 2.2 dargestellt. Auf
der Abszisse ist der Abstand r zwischen den zu korrelierenden beiden Orten
aufgetragen, außerdem sind qualitativ zwei wichtige Wirbelgrößen des turbulenten
Strömungsfeldes eingezeichnet. Das integrale Längenmaß l 0 eines solchen
turbulenten Feldes ist definiert mit
l 0 (t )=
∫ ∞
0
f (r, t )dr (2.12)
und bestimmt die Abmessung der Wirbel mit der höchsten Energie. Neben l 0
ist auch die Größe η der oben erwähnten Kolmogorov-Wirbel eingezeichnet,
welche die kleinstmöglichen Wirbel am Ende des Wirbelspektrums darstellen.
Da die Turbulenz bei den kleinsten Skalen eine universelle Form hat, die nur
von ν und ε abhängig ist, kann mittels einer Dimensionsanalyse deren Abmessung
η und Zeitmaß τ η wie folgt abgeschätzt werden.
( ν
3) 1/4
η≡
(2.13)
ε
( ν
) 1/2
τ η ≡
(2.14)
ε
Das Verhältnis der Längen- und Zeitskalen von integralen Wirbeln zu
Kolmogorov-Wirbeln geben die Gleichungen 2.15 und 2.16 wieder. Hier wird
deutlich, dass mit steigender Reynolds-Zahl die Kolmogorov-Wirbel kleiner
werden.
l 0
η ∝ Re3/4 (2.15)
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