Química Física

118 Capítulo 4 Forma y anchura de las ĺıneas espectrales
escribimos
B nm = 2π2 |〈m|µ|n〉| 2
3ε 0 h 2 (4.6.2)
P nm = 2π2 |〈m|µ|n〉| 2 ρ(ν mn ) t
3ε 0 h 2 (4.6.3)
Ahora hemos de utilizar esta expresión general para calcular la probabilidad de transición
del electrón que se mueve como un oscilador armónico isótropo tridimensional.
El cuadrado del momento dipolar de transición es
〈µ〉 2 = 〈µ x 〉 2 + 〈µ y 〉 2 + 〈µ z 〉 2 = e 2 [ 〈x〉 2 + 〈y〉 2 + 〈z〉 2] (4.6.4)
y la transición que hemos de considerar es la que va desde el estado fundamental al
primer estado excitado. Los estados del oscilador armónico isótropo tridimensional
vienen definidos por los tres números cuánticos (n x , n y , n z ). El primer estado excitado
está, además, tríplemente degenerado, puesto que los estados (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1)
tienen los tres la misma energía. El momento dipolar para la transición (0,0,0) →
(1,0,0), viene entonces dado por
⎡
⎤
= 0
= 0
{ }} { { }} {
〈100|µ|000〉 2 = e 2 ⎢
⎣〈100|x|000〉 2 + 〈100|y|000〉 2 + 〈100|z|000〉 2 ⎥
⎦ = e 2 | 〈1|x|0〉 | 2
(4.6.5)
Hemos de tener en cuenta también las transiciones (000)→ (010) y (000)→ (001),
cuyos momentos dipolares de transición son
〈010|µ|000〉 2 = e 2 〈010|µ|000〉 2 = e 2 | 〈1|y|0〉 | 2 (4.6.6)
〈001|µ|000〉 2 = e 2 〈001|µ|000〉 2 = e 2 | 〈1|z|0〉 | 2 (4.6.7)
La probabilidad de transición al primer nivel de energía excitado es
P osc
0→1 = 2π2 ρ(ν mn )te 2
3ε 0 h 2 [
| 〈1|x|0〉 | 2 + | 〈1|y|0〉 | 2 + | 〈1|z|0〉 | 2] (4.6.8)
Puesto que el oscilador es isótropo, las frecuencias para cada coordenada son las
mismas de modo que
y la Ecuación (4.6.8) queda como sigue
| 〈1|x|0〉 | 2 = | 〈1|y|0〉 | 2 = | 〈1|z|0〉 | 2 (4.6.9)