Química Física

8 Capítulo 1 Cuantización de la materia
Usando las integrales (1.4.2), (1.4.5) y (1.4.6) en (1.4.3) nos queda, después de simplificar
∫ +∞
−∞
Φ(x) ∗ ĤΦ(x)dx =
[
( π
) 1
2
− 2 b 1 2
2 2µ + c3
16
]
1
Sustituyendo ahora las Ecuaciones (1.4.7) y (1.4.2) en la integral obtenemos
W (b) =
( ) 1
[
∫ π/ 2
+∞
−∞ Φ(x)∗ ĤΦ(x)dx
∫ +∞
−∞ Φ(x)∗ Φ(x)dx = 2/
2 b 1 2
2µ + 3c
16b 2
5
( ) 1
π/ 2
2/ b
Aplicando ahora la condición de minimización nos queda
]
b 5 2
= 2 b
2µ + 3c
16b 2 (1.4.7)
W (b)
db
= 2
2µ − 2/ · 3 · c
16/ b
}{{}
3 = 0 ⇒ b op =
8
[ ] 1
3cµ 3
4 2
(1.4.8)
y sustituyendo este valor en la Ecuación (1.4.7) llegamos al resultado
W op (b) = 2 b op
2µ + 3c
16b 2 op
= 3 8
[ 6 4 ] 1
c
3
µ 2
1.5 Demuestre que si la función variacional de prueba Φ(x) es ortogonal a la
función propia exacta del estado fundamental ψ 0 (x), es decir si 〈Φ|ψ 0 〉 =
0, entonces la integral variacional proporciona un límite superior a la
energía del primer estado excitado. Obtenga la mejor aproximación a
la energía del primer estado excitado del oscilador armónico usando la
función de prueba Φ(x) = Axe −bx2 /2 .
Objetivo
Abordar el cálculo de la energía variacional correspondiente a estados excitados
demostrando previamente las condiciones que debe cumplir la función de prueba.
Sugerencias
Utilizando como funciones de base las funciones propias exactas del problema,
expresamos la función variacional en términos de ellas, lo que permite obtener la
integral variacional en términos de los solapamientos entre la función de prueba
y las exactas.