Química Física

2 Capítulo 1 Cuantización de la materia
Sustituyendo este operador y la función variacional de prueba Φ(x) = x(l − x) en el
numerador y el denominador de la Ecuación (1.1.1) desarrollamos
∫ l
y
0
Φ ∗ ĤΦdx =
∫ l
0
)
x(l−x)
(− 2 d
2
2
[x(l−x]dx = −
2m dx2 2m
∫ l
0
x(l−x)(−2)dx = 2 l 3
6m
(1.1.3)
∫ l
0
Φ ∗ Φdx =
∫ l
0
x 2 (l − x) 2 dx =
∫ l
La Ecuación variacional (1.1.1) nos da entonces
0
x 2 ( l 2 + x 2 − 2lx ) dx = l5
30
(1.1.4)
W = 52
ml 2 =
5h2
4π 2 ml 2 (1.1.5)
La energía exacta del estado fundamental es E 1 = h 2 /(8ml 2 ), luego la diferencia de
energía vale
∆W = W − E 1 =
( )
5h2
4π 2 ml 2 −
h2 10
8ml 2 = π 2 − 1 E 1 = 0.0132E 1 (1.1.6)
y el porcentaje de error para la energía variacional es
∆W
E 1
= 0.0132 ⇒ 1.3 % (1.1.7)
1.2 Utilice como función variacional de prueba para la partícula en la caja
Φ(x) = x 2 (l − x) y compare la energía variacional obtenida con la que
proporciona la función Φ(x) = x(l − x). Explique por qué es mejor esta
última.
Objetivo
Efectuar un cálculo variacional para el modelo de la partícula en la caja usando dos
funciones de prueba diferentes con objeto de hacer una estimación comparativa de
la calidad de ambas.
Sugerencias
Calculamos la integral variacional para la función de prueba que nos da el
enunciado y comparamos con el resultado exacto para la energía del estado
fundamental.