Química Física

Problemas de Espectroscopía I.- Fundamentos, átomos y moléculas diatómicas 299
Sugerencias
Expresamos la función de onda del estado fundamental en una base de las funciones
de onda del estado excitado e imponemos la condición de normalización
a la función de onda del estado fundamental.
Resolución
Los factores de Franck-Condon se definen de la forma
q v ′ ,v ′′ = | 〈 v ′ |v ′′〉 | 2 (8.12.1)
donde ψ v ′ es la función de onda vibracional del estado electrónico superior y ψ v ′′ es la
función de onda vibracional del estado electrónico inferior. La relación a demostrar
puede expresarse entonces de la forma
∑
v ′ q v ′ ,v ′′ = ∑ v ′ | 〈 v ′ |v ′′〉 | 2 = ∑ v ′ 〈
v ′ |v ′′〉 〈 v ′ |v ′′〉 ∗ =
∑
v ′ 〈
v ′ |v ′′〉 〈 v ′′ |v ′〉 = 1 (8.12.2)
Para demostrar esta expresión desarrollamos ψ v ′′
las funciones ψ v ′, es decir,
como una combinación lineal de
ψ v ′′ = ∑ v ′′ c v ′ ,v ′′ψ v ′ (8.12.3)
donde
c v ′ ,v ′′ = 〈 v ′ |v ′′〉 (8.12.4)
Sustituyendo esta expresión en la Ecuación (8.12.3), obtenemos
ψ v ′′ = ∑ v ′′ c v ′ ,v ′′ψ v ′ = ∑ v ′′ 〈
v ′ |v ′′〉 ψ v ′ (8.12.5)
y multiplicando por la izquierda a ambos miembros por ψ ∗ v ′′ e integrando, nos queda
〈
v ′′ |v ′′〉 = ∑ v ′′ 〈
v ′ |v ′′〉 〈 v ′′ |v ′〉 = 1 (8.12.6)
donde hemos usado la propiedad de normalización de la función ψ v ′′. Esta es, como
vemos, la expresión que queríamos demostrar.