Química Física

Problemas de Espectroscopía I.- Fundamentos, átomos y moléculas diatómicas 11
dW (b)
db
= 6 8
[
2
µ − k b 2 ]
= 0
de donde despejamos
√ kµ
b op =
(1.5.14)
y sustituyendo esta expresión en la Ecuación (1.5.13), nos queda
[
W (b op ) = 6 2/ √ ] [ (
kµ
+ √ k = 6 ( ) 1
]
k 2 k 2
+ =
8 m/ kµ 8 µ)1
3 ( k 2
(1.5.15)
µ 2 µ)1
La energía exacta del primer estado excitado es
E 1 = (1 + 1 2 )hν = 3 2 hν = 3 2 ( k
µ
) 1
2
(1.5.16)
que es, precisamente, la que hemos obtenido variacionalmente, lo que indica que la
función variacional de prueba que hemos usado coincide con la exacta.
1.6 Utilice la función variacional de prueba lineal ψ(x) = c 1 x(l −x)+c 2 x 2 (l −
x) 2 (0 ≤ x ≤ l) para calcular la energía de los estados fundamental y
primero excitado de la partícula en la caja de potencial unidimensional.
Objetivo
Efectuar un cálculo variacional empleando una función de prueba lineal para obtener
las energías del estado fundamental y del primer estado excitado.
Sugerencias
Escribimos el determinante secular para una función de prueba lineal.
Obtenemos los elementos de matriz implicados usando las integrales resueltas
en los Problemas (1.1) y (1.2) e integrales similares.
Resolvemos la ecuación característica para obtener las raíces que, dispuestas en
orden creciente, corresponden al estado fundamental y al primero excitado.
Resolución
El determinante secular a resolver, de orden dos, es
∣ H 11 − S 11 W
H 21 − S 21 W
H 12 − S 12 W
H 22 − S 22 W ∣ = 0 (1.6.1)