Química Física

Problemas de Espectroscopía I.- Fundamentos, átomos y moléculas diatómicas 235
La cuestión está ahora en escribir este potencial como el de un oscilador de Morse,
es decir, transformarlo de forma que desaparezca el término lineal en 1 − e −a(r−re) .
Para ello realizamos la siguiente transformación de la coordenada radial
r = r ′ + b (7.6.21)
que no afecta al operador diferencial de energía cinética de la ecuación radial (7.6.1) y
que permite escoger el valor del parámetro b de forma que se elimine el término lineal
en 1−e −a(r−re) . Comenzamos entonces desarrollando el potencial efectivo (Ecuación
7.6.20) como sigue
V efectivo (r) = A 0 + A 1 − A 1 e −a(r−re) + A 2
[1 + e −2a(r−re) − 2e −a(r−re)] =
= A 0 + A 1 + A 2 + A 2 e −2a(r−re) − (2A 2 + A 1 )e −a(r−re) (7.6.22)
y sustituimos aquí r = r ′ + b, con lo que obtenemos
[
V efectivo (r ′ ) = A 0 + A 1 + A 2 + A 2 e −2ab e −2a(r′ −r e) − (2A 2 + A 1 )e −ab ]
A 2 e −2ab e −a(r′ −r e)
(7.6.23)
Para que las exponenciales que aparecen entre corchetes sean las de un oscilador de
Morse normal se ha de cumplir que el término que multiplica a e −a(r′ −r e) sea igual
a 2, en cuyo caso nos queda
e −ab = 2A 2 + A 1
2A 2
(7.6.24)
y esta es, por tanto, la expresión que especifica el valor del parámetro b. Usando
pues esta expresión en el potencial efectivo (7.6.23) obtenemos
V efectivo (r ′ ) = A 0 + A 1 + A 2 + A 2 e −2ab [ e −2a(r′ −r e) − 2e −a(r′ −r e) ] =
donde hemos llamado
= A 0 + A 1 + A 2 − A ′ + A ′ [ 1 − e −a(r′ −r e) ] 2
A ′ = A 2 e −2ab = (2A 2 + A 1 ) 2
Vemos entonces que el potencial efectivo obtenido
(7.6.25)
4A 2
(7.6.26)
V efectivo = A 0 + A 1 + A 2 − A ′ + A ′ [ 1 − e −2a(r′ −r e) ] 2
(7.6.27)
es el correspondiente a un oscilador de Morse con una energía de disociación efectiva
A ′ más una constante dada por A 0 + A 1 + A 2 − A ′ . Usando la expresión general