Química Física

170 Capítulo 6 Espectroscopía atómica
Comencemos por la componente Il z ′ ,m ′ ;l,m. Debido a la condición de ortonormalidad
de la función Φ ∗ m
(φ) y Φ ′ m (φ), para que esta integral sea diferente de cero se ha de
cumplir que m = m ′ , tal como hemos visto en el problema anterior. Puesto que
〈m ′ |m〉 =
∫ 2π
0
Φ ∗ m ′Φ m(φ) = δ m ′ m (6.2.7)
la integral I z l ′ ,m ′ ;l,m se reduce a I z l ′ ,m ′ ;l,m = 〈l′ m|cos θ |lm〉 (6.2.8)
o, explícitamente
∫ π
Il z ′ ,m ′ ;l,m = Θ ∗ l ′ m ′(θ) cos θ Θ lm(θ) sen θ d θ (6.2.9)
0
Las funciones de onda angulares Θ lm (θ) vienen dadas por la expresión
Θ lm (θ) = N l,|m| P |m|
l
(cos θ) (6.2.10)
donde P |m|
l
(cos θ) son los polinomios asociados de Legendre y N l,|m| es la constante
de normalización dada por
[ ]
2l + 1 (l − |m|)!
N l,|m| =
2 (l + |m|)!
Las funciones Θ lm (θ) satisfacen la condición de ortonormalidad
∫ π
0
(6.2.11)
Θ ∗ l ′ m ′(θ) sen θ Θ lm(θ) sen θ d θ = δ l ′ l (6.2.12)
Para evaluar la integral (6.2.9) podemos usar la siguiente relación que satisfacen los
polinomios asociados de Legendre
cos θ P |m|
l
=
(l − m + 1)P
|m|
l+1
2l + 1
Usando esta relación en la integral (6.2.9) escribimos
+ (l + m)P
|m|
l−1
(6.2.13)
∫ π
∫ π
Il z ′ ,m ′ ;l,m = Θ ∗ l ′ m (θ) cosθ Θ lm(θ) senθ d θ = N l,|m| Θ ∗ |m|
l ′ m (θ) cosθ P
l
(θ)senθ dθ =
0
0
∫ {
π
|m|
|m|
(l − |m| + 1)P
= N l,|m| Θ ∗ l ′ m (θ) l+1
(θ) + (l + |m|)P
l−1 (θ)
}
senθ dθ =
2l + 1
0
= N l,|m|(l − |m| + 1)
2l + 1
+ N l,|m|(l − |m|)
2l + 1
∫ π
Θ ∗ l ′ m
0
∫ π
Θ ∗ l ′ m
0
|m|
(θ) P (θ) sen θ d θ +
l+1
|m|
′(θ) P (θ) sen θ d θ (6.2.14)
l−1