Química Física

Problemas de Espectroscopía I.- Fundamentos, átomos y moléculas diatómicas 5
d 2
Ĥ = − 2
2m dx 2 + 1 2 kx2 (1.3.1)
Calculamos el numerador y el denominador de la integral variacional para la función
de prueba
Φ(x) = e −bx2 (1.3.2)
Para el denominador, es decir, para la integral de normalización, obtenemos
∫ +∞
−∞
|Φ(x)| 2 dx =
∫ +∞
−∞
e −2bx2 dx =
( π
2b)1
2
(1.3.3)
donde hemos usado la integral general
∫ +∞
−∞
e −αx2 dx =
( π
α)1
2
(1.3.4)
Para el numerador de la integral variacional, es decir, la integral que contiene el
operador Hamiltoniano, desarrollamos
∫ +∞
−∞
Ahora tenemos
de modo que
∫ +∞
−∞
Φ(x) ∗ ĤΦ(x)dx =
∫ +∞
[
e −bx2 − 2 d 2
−∞ 2m dx 2 + 1 ]
2 kx2
∫ +∞
e −bx2 d2
−∞
= − 2
2m
dx 2 e−bx2 dx + k 2
e −bx2 dx =
∫ +∞
−∞
x 2 e −2bx2 dx
(1.3.5)
d 2 [
dx 2 e −bx2] = d [
] [
e −bx2 (−2bx) = 2be −bx2 2bx 2 − 1 ] (1.3.6)
dx
Φ(x) ∗ ĤΦ(x)dx = − 2 b
m
+ k 2
[
2b
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞
x 2 e −2bx2 dx −
∫ +∞
−∞
]
e −2bx2 dx +
x 2 e −2bx2 dx (1.3.7)
Para evaluar la integral ∫ +∞
−∞ x2 e −2bx2 dx, usamos la expresión general
∫ +∞
−∞
x 2n e −αx2 dx =
1 · 3 · · · (2n − 1)
( π
) 1
2
2 n+1 α 2n+1
n = 1, 2, 3, · · · (1.3.8)
tomando n = 1 y α = 2b de modo que obtenemos