Química Física

32 Capítulo 1 Cuantización de la materia
Tenemos por tanto que
〈1|x|2〉 = − 16l
9π 2 (1.16.8)
H 11 =
h2
8ml 2 + k 2
(1.16.9)
y
H 22 =
h2
8ml 2 + k 2
(1.16.10)
H 12 = H 21 = − 16k
9π 2 (1.16.11)
La ecuación característica para el determinante secular de orden dos es
y sus raíces vienen dadas por
E 2 − (H 11 + H 22 )E + (H 11 H 22 − H 2 12) = 0 (1.16.12)
E ± == H 11 + H 22 ± [ (H 11 − H 22 ) 2 + 4H 2 12 )] 1 2
2
(1.16.13)
Usando las Ecuaciones (1.16.9) a (1.16.11) escribimos
H 11 + H 22 = E 1 + E 2 + k (1.16.14)
H 11 − H 22 = E 1 − E 2 (1.16.15)
y sustituyendo en la Ecuación (1.16.14) obtenemos
⎧
[
E ± = 1 ⎨
2 ⎩ E 1 + E 2 + k ± (E 1 − E 2 ) 1 +
( 32k
9π 2 ) 2
(E 1 − E 2 ) 2 ] 1 2
⎫
⎬
⎭
(1.16.16)
Si se cumple que (E 1 − E 2 ) 2 >> ( 32k/(9π 2 ) ) 2 = 4H
2
12 entonces podemos usar la
aproximación
⎡
⎤
4H12
{ 2 (
}}
)
{
32k 2
9π 1 +
2 (E 1 − E 2 ) 2
⎢
} {{ }
⎥
⎣ ∆E 2 ⎦
1
2
=
( ) 1
1 + 4H2 2
12 4H ≈ 1 +
12
2
∆E 2 ∆E 2 = 1 + 2H2 12
∆E 2 (1.16.17)
y escribir