Química Física

40 Capítulo 1 Cuantización de la materia
Escribimos la corrección de segundo orden de la energía y obtenemos los elementos
de matriz de la perturbación entre los estados correctos de orden cero.
Obtenemos la corrección de segundo orden de la energía y escribimos las energías
totales.
Comparamos la expresión perturbativa con la energía exacta.
Resolución
El Hamiltoniano del sistema viene dado por
y la energía de orden cero es
[ ]
Ĥ = − 2 ∂
2
2m ∂x 2 + ∂2
∂y 2 + 1 2 k(x2 + y 2 ) + cxy (1.20.1)
E (0)
n x,n y
= (n x + n y + 1)hν
{
nx = 0, 1, 2, · · ·
n y = 0, 1, 2, · · ·
(1.20.2)
Para el primer estado tenemos
(n x , n y )
↗ (1, 0)
↘ (0, 1)
}
⇒ E (0) = 2hν (1.20.3)
Las funciones de onda para los osciladores armónicos sin acoplar, es decir, de orden
cero son
ψ (0)
1 = ψ (0)
1,0 = f 1(x)g 0 (y) (1.20.4)
ψ (0)
2 = ψ (0)
0,1 = f 0(x)g 1 (y) (1.20.5)
donde f(x) y g(y) son las funciones armónicas unidimensionales. El determinante
secular de orden dos es el siguiente
y sus elementos de matriz vienen dados por
Usando las expresiones generales armónicas
H 11 ′ − ∣ E(1) H 12 ∣∣∣∣∣ = 0 (1.20.6)
∣ H 21 ′ H 22 ′ − E(1)
H ′ 11 = c〈1|x|1〉〈0|y|0〉 = 0 (1.20.7)
H ′ 12 = H ′ 21 = c〈1|x|0〉〈0|y|1〉 (1.20.8)
H ′ 22 = c〈0|x|0〉〈1|y|1〉 = 0 (1.20.9)
√
n + 1
〈n + 1|x|n〉 =
2α
√ n
〈n − 1|x|n〉 =
2α
(1.20.10)
(1.20.11)