Química Física

6 Capítulo 1 Cuantización de la materia
∫ +∞
−∞
x 2 e −2bx2 dx = 2
∫ +∞
0
x 2 e −2bx2 dx = 1 4
( π
2
) 1
2 1
b 3 2
(1.3.9)
donde hemos tenido en cuenta que el integrando es par. Sustituyendo las Ecuaciones
(1.3.9) y (1.3.4) en la Ecuación (1.3.7), obtenemos
∫ +∞
−∞
Φ(x) ∗ ĤΦ(x)dx =
=
=
[− 2 2b 2
µ + k ] ∫ +∞
x 2 e −2bx2 dx + 2 b
2 −∞
µ
[− 2 2b 2
) 1
2 1
( π 2
2b)1
µ + k ] 1
( π
2 4 2
[
]
( π
) 1
2 2 b 1 2
2 2µ + k
8b 3 2
b 3 2
+ 2 b
µ
∫ +∞
−∞
=
e −2bx2 dx =
(1.3.10)
Sustituyendo ahora las expresiones (1.3.10) y (1.3.3) en la integral variacional nos
queda
∫ +∞
−∞
Φ⋆ (x)ĤΦ(x)dx
W (b) = ∫ +∞
−∞ Φ∗ (x)Φ(x)dx
== 2 b
2µ + k (1.3.11)
8b
Derivando ahora con respecto a b, obtenemos
dW (b)
db
= 2
2µ − k
√ kµ
8b 2 = 0 ⇒ b op =
2
(1.3.12)
y sustituyendo esta expresión para b op en la Ecuación (1.3.11) nos queda
W (b op ) = 2 b op
2µ + k = ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1
k 2 k 2 k 2 hν
+ = =
8b op 4 µ 4 µ 2 µ 2 = E 0 (1.3.13)
donde, como vemos, la energía variacional coincide con la exacta.
1.4 Obtenga la energía variacional del estado fundamental del oscilador cuártico,
cuyo potencial es V (x) = cx 4 , empleando como función de prueba
Φ(x) = e −bx2 .
Objetivo
Calcular la energía variacional para un modelo de potencial que incluye un término
cuártico empleando una función de prueba con un parámetro ajustable.
Sugerencias
Calculamos la energía variacional para la función de prueba que se propone.