Química Física

214 Capítulo 6 Espectroscopía atómica
El Hamiltoniano completo del átomo de hidrógeno perturbado por un campo eléctrico
externo viene dado entonces por
Ĥ = − 2
2µ ∇2 − ke2
r + eE 0z (6.20.7)
Para campos externos suficientemente débiles podemos usar la teoría de perturbaciones
para tratar el efecto del campo eléctrico externo. La perturbación en este caso
es
Ĥ ′ = eE 0 z (6.20.8)
Veamos pues, cómo afecta la perturbación a los estados del átomo de hidrógeno con
n = 1 y n = 2.
n = 1
En este caso, solamente hay un estado, el fundamental, caracterizado por los
números cuánticos (n, l, m) = (1, 0, 0). La corrección de primer orden de la
energía viene dada por
E (1)
1,0,0 = 〈ϕ 1,0,0,|Ĥ′ |ϕ 1,0,0 〉 = eE 0 〈ϕ 1,0,0 |z|ϕ 1,0,0 〉 (6.20.9)
La función de onda del estado fundamental tiene, a su vez, la forma
ϕ 1,0,0 (r, θ, φ) = R 10 (r) Y0 0 (θ, φ) = R √
10(r)
(6.20.10)
} {{ } 4π
√
1
4π
Sustituyendo esta expresión en la integral (6.20.9) y desarrollando la integral
escribimos
E (1)
1,0,0 = eE 0
Teniendo en cuenta que
∫ ∞ ∫ π ∫ 2π
0
0
0
R 10 (r)
√
4π
z R 10(r)
√
4π
r 2 sen θdrdθdφ (6.20.11)
z = rcos θ (6.20.12)
podemos factorizar la integral tridimensional (6.20.11) en integrales unidimensionales
de la forma
E (1)
1,0,0 = eE 0
∫ ∞
0
∫ π
∫ 2π
|R 10 (r)| 2 r 3 dr cos θ sen θdθ dφ (6.20.13)
0
0
Se comprueba fácilmente que la integral correspondiente a la coordenada θ se
anula, es decir
∫ π
0
cos θ sen θdθ = 0 (6.20.14)