Química Física

124 Capítulo 4 Forma y anchura de las ĺıneas espectrales
Como vemos, está completamente justificado despreciar la población del estado superior
para transiciones electrónicas, no tanto para las transiciones vibracionales y
no se puede hacer en absoluto para las transiciones rotacionales.
4.10 Obtenga la expresión general para la transformada de Fourier a(E) de la
función f(t). Para ello multiplique el desarrollo de Fourier de f(t) por
iE′
e
t/
e integre con respecto al tiempo a ambos lados del signo igual.
Utilice entonces la relación
δ(E ′ − E) = 1
2π
∫ +∞
−∞
e i(E′ −E)t/ dt
donde δ(E ′ − E) es la denominada función delta de Dirac, que satisface
la propiedad ∫ +∞
a(E)δ(E ′ − E)dE = a(E ′ )
−∞
para cualquier función a(E) que se comporte bien.
Objetivo
Obtener la transformada de Fourier de la función f(t).
Sugerencias
Siguiendo las indicaciones del enunciado obtenemos la expresión para los coeficientes
a(E) en términos de la función f(t).
Resolución
El desarrollo de Fourier de la función f(t) viene dado por
f(t) = √ 1 ∫ +∞
2π
−∞
a(E)e −iEt
dE (4.10.1)
Multiplicando por e iE′ t
e integrando respecto del tiempo, obtenemos
∫ +∞
−∞
e iE′ t
f(t)dt =
1
=
√
2π
∫ +∞
−∞
e iE′ t
∫
1 +∞
√ a(E)
2π
−∞
∫ +∞
−∞
[∫ +∞
−∞
a(E)e −iEt
dEdt =
e i(E′ −E)t
]
dt
} {{ }
2 π δ(E ′ −E)
dE =
= √ 2π ∫ +∞
a(E)δ(E ′ − E)dE = √ 2π a(E ′ ) (4.10.2)
2π
−∞