Química Física

Problemas de Espectroscopía I.- Fundamentos, átomos y moléculas diatómicas 191
Ĥ = Ĥ(0) + ĤS.O. (6.11.1)
donde Ĥ(0) es el operador Hamiltoniano sin incluir la interacción espín-órbita y ĤS.O.
es el operador asociado a dicha interacción, que podemos escribir de la forma
Ĥ S.O. = ξ(r)Ŝ · ˆL (6.11.2)
donde ξ(r) es una función que depende de la coordenada ] radial. ] Obtengamos, entonces,
en primer lugar, los conmutadores
[Ĥ, Ĵ 2 y
[Ĥ, Ĵ z . Comenzamos por este
último.
[Ĥ, Ĵ z
]
Utilizando la Ecuación (6.11.1) escribimos
] [Ĥ, Ĵ z =
[Ĥ(0) Ĵz]
]
, +
[ĤS.O. , Ĵz
(6.11.3)
Para el primer término tenemos
[Ĥ(0) Ĵz] , = , ˆL
] ]
z + , Ŝz = 0 (6.11.4)
} {{ } } {{ }
=0
=0
donde hemos tenido en cuenta que Ĵz = ˆL z + Ŝz y que los operadores ˆL z y Ŝz
conmutan con Ĥ(0) . Para el segundo término de (6.11.3) escribimos
[ĤS.O. , Ĵz]
]
= ξ(r)
[Ŝ · ˆL, Ĵ z
(6.11.5)
Usando aquí la relación de conmutación general
[Â ˆB, Ĉ]
=
] [ [Â, Ĉ ˆB + Â ˆB, Ĉ]
(6.11.6)
desarrollamos
[ĤS.O. , Ĵz]
]
= ξ(r)
[Ŝ · ˆL, Ĵ z
] ]}
= ξ(r)
{[Ŝ, Ĵ z ˆL + Ŝ
[ˆL, Ĵ z
]}
= ξ(r)
{[Ŝ, Ŝz]
ˆLz + ˆL + Ŝ
[ˆL, ˆLz + Ŝz =
] ] ] ]}
= ξ(r)
{[Ŝ, ˆLz ˆL +
[Ŝ, Ŝ z ˆL + Ŝ
[ˆL, Ŝ z +
[ˆL, Ŝ Ŝ z
=
(6.11.7)
Puesto que los operadores Ŝ y ˆL dependen de diferentes conjuntos de coordenadas,
las de espín y las espaciales respectivamente, conmutan entre sí, es decir,
tenemos que
] ]
[Ŝ, ˆLz =
[ˆL, Ŝ z = 0 (6.11.8)