Química Física

Problemas de Espectroscopía I.- Fundamentos, átomos y moléculas diatómicas 171
y teniendo en cuenta que
P |m|
l+1 (θ) = Θ l+1,m
N l+1,|m|
(6.2.15)
y
P |m|
l−1 (θ) = Θ l−1,m
N l−1,|m|
(6.2.16)
la integral I z l ′ ,m ′ ;l,m
nos queda
I z l ′ ,m ′ ;l,m = N l,|m|(l − |m| + 1
N l,|m| (2l + 1)
+ N l,|m|(l + |m|
N l−1,|m| (2l + 1)
∫ π
0
∫ π
0
Θ ∗ l ′ m (θ) sen θ Θ l+1,m(θ) sen θ d θ +
Θ ∗ l ′ m (θ) sen θ Θ l−1,m(θ) sen θ d θ (6.2.17)
Usando aquí la condición de ortonormalidad (6.2.12) escribimos
Il z ′ ,m ′ ;l,n = N l,|m|(l − |m| + 1
δ l
N l,|m| (2l + 1)
′ ,l+1 +
N l,|m|(l + |m|
N l−1,|m| (2l + 1) δ l ′ ,l−1 (6.2.18)
Para que esta integral tome valores diferentes de cero, se ha de cumplir entonces
l ′ = l ± 1 =⇒ ∆l = ±1 (6.2.19)
que es la regla de selección que queríamos demostrar.
Las integrales Il x ′ ,m ′ ;l,m e Iy l ′ ,m ′ ;l,m
se resuelven de modo análogo, teniendo en cuenta
ahora la regla de selección ∆m = ±1 que hemos determinado en el problema anterior
y usando las siguientes relaciones para los polinomios asociados de Legendre
y
sen θ P |m|−1
l
= P |m|
l−1 − P |m|
l+1
2l + 1
(6.2.20)
sen θ P |m|+1
l
=
|m|
|m|
(l − |m|)(l − |m| + 1)P
l+1
− (l + |m|)(l + |m| + 1)P
l−1
2l + 1
(6.2.21)
Para ambas integrales, además, la regla de selección que se obtiene es la misma que
hemos obtenido anteriormente, es decir, ∆l = ±1.