Química Física

42 Capítulo 1 Cuantización de la materia
de manera que
⎡
〈ϕ (0)
1 |cxy|ψ(0) 〉 = √ c ⎢
2
⎣〈 1|x
}{{}
par
|n x 〉〈 0|y |n
}{{} y 〉 − 〈 0|x
}{{}
impar impar
|n x 〉〈 1|y
}{{}
par
⎤
⎥
|n y 〉 ⎦ (1.20.22)
De acuerdo con las paridades indicadas, para que el elemento matriz total sea diferente
de cero, n x y n y deben tener paridad diferente. Puesto que, además, los elementos
de matriz de las primeras potencias de la coordenada para el oscilador armónico se
anulan si la diferencia entre los números cuánticos es mayor que la unidad, entonces
tenemos las siguientes posibilidades
}
n x = 0
n y = 1
}
n x = 1
n y = 0
}
n x = 1
n y = 2
}
n x = 2
n y = 1
⎫
Descartados porque
⎪⎬
son los estados degenerados
que estamos
⎪⎭
calculando.
⎫
Estos son los únicos
⎪⎬
para los que el elemento
de matriz de ⎪⎭
Ĥ′ es
diferente de cero.
Estas dos últimas combinaciones de números cuánticos corresponden a la función de
onda
ψ (0)
3 = f 1 (x)g 2 (y) E (0)
3 = 4hν (1.20.23)
para la que
〈ϕ (0)
1 |cxy|ψ(0) 3 〉 = √ c [〈1|x|1〉〈0|y|2〉 − 〈0|x|1〉〈1|y|2〉] = −√ c 〈0|x|1〉〈1|y|2〉
2 2
y a la función de onda
para la que
Como
ψ (0)
4 = f 2 (x)g 1 (y) E (0)
3 = 4hν (1.20.24)
〈ϕ (0)
1 |cxy|ψ(0) 4 〉 = √ c 〈1|x|2〉〈0|y|1〉 (1.20.25)
2
〈0|x|1〉 = 〈0|y|1〉 = 1 √
2α
(1.20.26)
〈1|x|2〉 = 〈1|y|2〉 = 1 √ α
(1.20.27)
nos queda