Química Física

12 Capítulo 1 Cuantización de la materia
Resolviendo las integrales H ij y S ij para las funciones que componen la combinación
lineal, es decir f 1 (x) = x(l − x) y f 2 (x) = x 2 (l − x) 2 , obtenemos
⎫
H 11 = 2 l 3
6m
H 22 = 2 l 7
105m
H 12 = H 21 = 2 l 5
30m
⎪⎬
S 11 = l5
30
S 11 = l9
630
S 12 = S 21 = l7
140
Desarrollando el determinante secular nos queda:
(H 11 − S 11 W )(H 22 − S 22 W ) − (H 12 − S 12 W )(H 21 − S 21 W ) =
= [S 11 S 22 − S 12 S 21 ]W 2 + [H 12 S 21 + S 12 H 21 − H 11 S 22 − S 11 H 22 ]W +
⎪⎭
(1.6.2)
+ [H 11 H 22 − H 12 H 21 ] = 0 (1.6.3)
de modo que podemos escribir la ecuación característica de forma simplificada como
sigue
aW 2 + bW + C = 0 (1.6.4)
donde
a = S 11 S 22 − S 12 S 21 (1.6.5)
b = H 12 S 21 + S 12 H 21 − H 11 S 22 − S 11 H 22 (1.6.6)
c = H 11 H 22 − H 12 H 21 (1.6.7)
Usando ahora las Ecuaciones (1.6.2), obtenemos
l 14
a =
100 × 189 × 28
2 l 12
b = −
m × 21 × 30 × 15
4 l 10
c =
m 2 × 30 × 70
(1.6.8)
(1.6.9)
(1.6.10)
Sustituyendo en la Ecuación característica (1.6.4) estos valores de a, b y c y simplificando
nos queda
l 4 W 2 − 2 l 2
y las raíces de esta ecuación de segundo grado en W son
m 56W + 4 × 25 2
m 2 = 0 (1.6.11)
W + = 2 [
ml 2 28 + 2 √ ]
133 = 51.0652
ml 2
W − = 2 [
ml 2 28 − 2 √ ]
133 = 4.9352
ml 2
= 1.293 h2
ml 2 (1.6.12)
= 0.125 h2
ml 2 (1.6.13)