CLAUDIO PIZZI LEZIONI DI FILOSOFIA DELLA SCIENZA a. a. 2010­2011

III. LOGICA E FILOSOFIA DELLE SCIENZE FORMALI
§1. Verso la metà dell’800 un geniale matematico tedesco, Georg Cantor, pose
le basi di una teoria che era destinata a diventare, secondo un modo di pensare
diffuso, non solo uno strumento concettuale prezioso ma il fondamento stesso
di tutto il corpo della matematica: la teoria degli insiemi.
Cantor non dava una definizione di insieme soddisfacente dal punto di vista
contemporaneo, ma definiva in modo sufficientemente chiaro le operazioni tra
insiemi e le relazioni tra insiemi. Le operazioni fondamentali tra insiemi sono :
complementazione (−), unione (∪), intersezione (∩).
Le relazioni sono invece : appartenenza (∈) e inclusione, (⊆). è importante non
confondere queste due relazioni. Ogni insieme A è incluso in se stesso in quanto
tutti gli elementi di A sono elementi di A (A ⊆ A), ma normalmente, anche se
non sempre, un insieme A non appartiene a se stesso (A ∉ A : l’insieme delle
mele non è una mela)
Esistono inoltre due insiemi speciali, il più piccolo di tutti o insieme vuoto
(∅) e il più grande di tutti o insieme totale (V).
Che cosa distingue un insieme finito da un insieme infinito? La risposta di
Cantor sfrutta una proprietà paradossale degli insiemi infiniti: essi hanno la
stessa numerosità di alcuni loro sottoinsiemi propri (p.es., come già aveva notato
Galileo, l’insieme dei numeri naturali N ha la stessa numerosità dell’insieme dei
numeri pari, che è un insieme diverso da N incluso in N).
La maggior gloria di Cantor è stata la teoria del transfinito, cioè la scoperta
che ci sono diversi tipi di infinito: l’insieme dei numeri reali per esempio è più