CLAUDIO PIZZI LEZIONI DI FILOSOFIA DELLA SCIENZA a. a. 2010­2011

necessario possedere il concetto di numero. In compenso, possiamo definire la
nozione di numero cardinale mediante la nozione di corrispondenza biunivoca.
Possiamo creare l’insieme di tutti gli insiemi che possono essere messi in
corrispondenza con l’insieme formato da Romolo e Remo e chiamarlo “Numero
2”. Allo stesso modo, possiamo formare l’insieme di tutti gli insiemi che si
possono mettere in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei Tre Moschettieri
e chiamarlo “numero 3” e così via all’infinito. Lo zero sarà ovviamente l’insieme
formato dall’insieme vuoto.
Frege fa vedere come le operazioni dell’aritmetica ­ Somma,
sottrazione,moltiplicazione, divisione ­ si possono definire in termini
insiemistici.
In quegli anni un italiano, Giuseppe Peano, aveva formulato gli assiomi per
l’aritmetica (aritmetica di Peano) e Frege fece vedere che questi assiomi si
potevano derivare dalla teoria degli insiemi e quindi indirettamente dalla logica.
I rami superiori dell’aritmetica –calcolo delle probabilità, calcolo
infinitesimale, teoria dei numeri complessi, ecc. per Frege erano costruibili come
rami dell’aritmetica, e quindi indirettamente come rami della logica.
Questa imponente costruzione concettuale, che Frege chiamava programma
logicista, rappresentava il primo tentativo di dare un fondamento alle scienze
formali assicurando nelle stesso tempo ad esse un linguaggio comune e un
insieme di regole di ragionamento perfettamente codificate, offerte dalla logica.
è degno di nota che in questo programma veniva rovesciato il rapporto tra logica
e matematica che altri, come Gorge Boole, avevano esplorato con successo.
Secondo Boole la logica si poteva ricostruire come un ramo particolare
dell’algebra interpretando le variabili x,y,z… coma classi di oggetti e i segni .,+,­
come operazioni su classi. In tal modo Boole ricostruiva la parte valida della
sillogistica aristotelica, ma non era in grado di rappresentare la logica di
enunciati più complessi come quelli relazionali.
Purtroppo questo ottimismo fondazionale era destinato a durare poco. Un
giovane studioso inglese, Bertrand Russell, che intratteneva, già a 18 anni, un
fitto carteggio con Frege, rilevò che il principio di comprensione, essenziale per