CLAUDIO PIZZI LEZIONI DI FILOSOFIA DELLA SCIENZA a. a. 2010­2011

Gödel– che la esprime. Dato quel numero di codice, possiamo risalire alla
formula che gli corrisponde.
Supponiamo ora di costruire una formula logica S che dica: S è indimostrabile
(cioè dica di se stessa che è indimostrabile, allo stesso modo in cui il mentitore
dice di se stesso “io sto mentendo”).
Le dimostrazioni sono sequenze di formule, quindi la proposizione asserente un
reapporto di dimostrabilità (Dim(x,y)) è vera quando x è il numero di Gödel di
una sequenza dimostrativa che termina con una formula con numero di Gödel y.
Questa relazione, come Gödel mostra, è decidibile, cioè si può sempre decidere
se è vero o no che Dim(x,y). Gödel dimostra che se R è una relazione decidibile
e R(m,n) è vero allora si dimostra nell’aritmetica R(m°,n°), dove m°,n° sono i
numeri di Gödel che rappresentano m,n ; mentre se R(m,n,) è falso allora si
dimostra non­R(m°, n°). Questo vale anche se R è precisamente il predicato
Dim.
Prendiamo ora la formula logica che asserisce, mediante opportuno impiego
dei numeri di Gödel, (G) “io non ho la relazione Dim con me stessa”. Se per
assurdo G si potesse dimostrare sarebbe vera. Ma in tal caso essa sarebbe
dimostrabile per la proprietà vista rispetto a ogni relazione R(m,n) che sia
decidibile, il che porta a una contraddizione. Quindi se G è dimostrabile G è
falsa. Per converso: se G è vera, essa è indimostrabile. Ma allora G è vera!
Infatti G asserisce la propria indimostrabilità: e, poiché è indimostrabile,
asserisce qualcosa di vero.
Quindi ci sono asserti matematici veri che sono, per quanto si è visto,
indimostrabili. A questo risultato Gödel aggiunge un altro elemento, e cioè che