CLAUDIO PIZZI LEZIONI DI FILOSOFIA DELLA SCIENZA a. a. 2010­2011

metodi “finitisti”, trattando le totalità infinite “come se “ esistessero realmente
alla stregua delle totalità finite. Il problema è arduo perchè si tratta di operare
senza ricorrere al cosiddetto principio di induzione matematica, che entra in
gioco quando cerchiamo di dimostrare che infiniti oggetti godono di una stessa
proprietà. Siano a0….. an,an+1….. infiniti oggetti a cui venga associato un
numero naturale. Se voglio dimostrare, p.es. che sono tutti divisibili per due,
dimostro in primo luogo che a0 è divisibile per 2 e poi, ipotizzando che un
qualsiasi an sia divisibile per due, dimostro che il successivo a n+1 è pure
divisibile per 2.
Senza questo principio è impossibile dimostrare teoremi anche molto
semplici, per es.
Per ogni x,y,z : x +(y +z) = (x +y) + z
La logica opera ora come teoria della dimostrazione o “metamatematica”,
cioè come insieme di metodi atti a dimostrare dagli assiomi le proposizioni
matematiche anche intuitivamente semplici, come a=a (teoria della
dimostrazione) e a stabilire la consistenza dei sistemi formali. Gli enunciati di
contenuto infinitario vengono trattati come complessi simbolici soggetti a regole
precise e quindi depotenziati della loro portata metafisica.
Von Neumann riuscì a dimostrare la consistenza di un sistema più debole
dell’aritmetica di Peano, l’aritmetica con induzione limitata a proprietà non
infinitarie. C’ era la speranza che si potesse arrivare in pochi anni a dimostrare lo
stesso risultato per l’aritmetica di Peano.
Un problema strettamente collegato è quello della decidibilità. Un sistema è
decidibile quando in un tempo finito si può stabilire se un enunciato gli
appartiene oppure no. Come disse Hilbert a un famoso convegno, il problema
della decisione è il problema fondamentale delle scienze formali.
Il problema della consistenza dell’aritmetica è il problema di sapere in tempo
finito (quindi di decidere) se una contraddizione, p.es. 0≠ 0, appartiene o no ad