CLAUDIO PIZZI LEZIONI DI FILOSOFIA DELLA SCIENZA a. a. 20102011

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per enunciati come G, non solo G ma anche la negazione di G è indimostrabile. Quindi l’aritmetica è incompleta e anche indecidibile, perché la verità e la falsità di certi enunciati come G non può essere stabilita con i mezzi del sistema. Il secondo teorema di Gödel, corollario del primo, consiste nel far vedere che se un sistema come l’aritemtica di Peano può dimostrare la formula che esprime la sua stessa consistenza, allora potrebbe dimostrare G. Ma poiché G non è dimostrabile, la formula che esprime la consistenza dell’aritmetica non è neppure dimostrabile entro l’aritmetica di Peano. Il programma di Hilbert, che aspirava a dimostrare la consistenza dell’aritmetica usando il frammento finitista della stessa, si rivelava quindi infondato. La portata filosofica dei due teoremi di Gödel è stata formidabile. Un’implicazione che si è voluto ravvisare, incoraggiata peraltro dallo stesso Gödel, era che nessun dispositivo che applichi sistemi meccanici di dimostrazione è in grado di dimostrare asserti veri che la mente umana è evidentemente in grado di catturare. Di qui il riaccendersi di discussioni, del resto mai sopite , sul dualismo animocorpo e sulla rappresentabilità della mente come computer. [Bibliografia reperibile in italiano C.Mangione e S. Bozzi, Storia della logica.Da Boole ai nostri giorni, Garzanti, Milano 1993 J.Crossley e altri, What is Mathematical Logic?, Oxford U.P. 1972, trad.it. Boringhieri, Torino, 1976 G. Lolli, Filosofia della matematica, Il Mulino, Bologna, 2002 S.G: Shankar (a cura di) Il teorema di Gödel, Muzzio, Padova, 1991 C.Toffalori e P. Cintoli, Logica Matematica, McGrawHill, Milano, 2000]
IV. Il PROBLEMA DELL’INDUZIONE E I FONDAMENTI <strong>DELLA</strong> PROBABILITA' §1. Secondo la dottrina tradizionale la differenza tra inferenza deduttiva e induttiva si può tracciare così: la prima va dal generale al particolare, l’altra in direzione opposta. Per esempio da “tutti i corvi sono neri” si deriva deduttivamente “tutti i corvi osservati sono neri ”, mentre il ragionamento induttivo sarebbe quello per cui da “tutti i corvi osservati sono neri” si deriva “tutti i corvi sono neri”. L’idea tuttavia è sbagliata per vari motivi. Uno di questi è che ci sono inferenze induttive che non rientrano nello schema sopra offerto. Per esempio l’inferenza da “tutti i corvi osservati sono neri” a “il prossimo corvo è nero” (a volte chiamata eduzione) non rientra nello schema visto, eppure è chiaramente un tipo particolare di induzione. Un modo semplice per caratterizzare, almeno in prima approssimazione, la differenza tra i ragionamenti si ha dicendo che nella transizione dalle premesse alle conclusioni alcuni ragionamenti vanno oltre quanto asserito nelle premesse permettendo un possibile incremento della nostra conoscenza (ampliativi) ed altri che non godono di questa proprietà. Volendo, potremmo caratterizzare come induttivi i ragionamenti ampliativi, e deduttivi quelli non ampliativi. Ma qui è opportuno fare una distinzione all’interno della classe dei ragionamenti ampliativi. Prendiamo questi due enunciati: (sa)“ se il fiammifero è stato sfregato si è acceso” (as)“se il fiammifero si è acceso, allora è stato sfregato”.
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