CLAUDIO PIZZI LEZIONI DI FILOSOFIA DELLA SCIENZA a. a. 2010­2011

macchine scacchiste in grado di battere grandi campioni.
Ma il teorema di Gödel, secondo molti, suggerisce che esistano operazioni
razionali della mente umana che non sono rappresentabili in termini meccanici.
Nel 1938 Alonzo Church dimostrava che la logica dei quantificatori non è
decidibile, e cioè che c’è un numero arbitrariamente grande di formule di cui non
possiamo dire in linea di principio se sono o meno teoremi del calcolo. La logica
assiomatizzata di Frege quindi non è in grado di risolvere in modo meccanico
tutti i problemi esprimibili nel linguaggio. Il teorema di Church afferma che non
è in linea di principio possibile costruire una macchina che risponda a tutte le
domande esprimibili in linguaggio logico, il che sembra comportare una
limitazione intrinseca alle capacità delle macchine di Turing.
La macchina di Turing non è in grado di calcolare tutte le funzioni possibili,
come è chiaro da una semplice considerazione. Ciò che è interessante è che la
definizione astratta data della macchina di Turing consente di identificare una
speciale macchina di Turing, detta Macchina di Turing Universale (MTU), che
“simula”, per così dire, le altre macchine di Turing. Infatti, dato che ogni
macchina di Turing è identificata dall’insieme delle sue istruzioni ( che sono
quadruple di simboli), tali insiemi di istruzioni possono essere rappresentate
univocamente da un numero naturale , e così diventare elementi dell’input della
MTU. Questo vuol dire che la MTU può anche parlare di se stessa, e acquista le
virtù dell’autodipendenza o autoriferimento. Incappa quindi in difficoltà tipo
quella del mentitore. Poniamole questo semplicissimo problema:
“Non ti fermerai? ”. I casi sono due: o la macchina si ferma o non si ferma. Se
la macchina si ferma, risponde affermativamente alla domanda , e se non si
ferma , risponde negativamente alla stessa domanda. Quindi se si ferma vuol
dire che è vero che non si ferma e se non si ferma vuol dire che è falso che non
si ferma, quindi è vero che si ferma. Questo è il tipico esempio di un problema
insolubile, cioè di una funzione non computabile.
Questo risultato faceva fallire da un lato il sogno leibniziano di trovare una
macchina che risolva tutti i problemi, dall’altro gettava ombra su alcune vecchie
teorie filosofiche, come quella di Hobbes, secondo cui pensare è calcolare.
Quando Hobbes scriveva, non c’erano né macchine sviluppate né una
psicologia sviluppata né una logica sviluppata. Ma tutti gli elementi per
un’analisi scientifica (extrafilosofica) della mente cominciavano ad essere
abbondantemente disponibili negli anni 80. Non c’è da stupirsi se nasceva in