CLAUDIO PIZZI LEZIONI DI FILOSOFIA DELLA SCIENZA a. a. 2010­2011

infiniti fatti atomici. Per questo è necessario introdurre dei simboli appositi, i
quantificatori, che ci consentano non solo di rappresentare proposizioni
universali come U ma di distinguerle da altre più deboli come
(E) “qualche uomo è mortale” .
Gottlob Frege, il padre della logica contemporanea, introdusse una notazione e
un insieme di regole per questi operatori (i quantificatori), in modo che U ed E
vengono rese rispettivamente da queste due formule: ∀x(Ux ⊃ Mx) e ∃ x(Ux ∧
Mx). In questo linguaggio con soggetti e predicati avremo un numero infinito di
predicati U, M, S…. e un numero infinito di variabili x,y,z… che sono, come si
dice, vincolate dai quantificatori.
I predicati possono essere semplici ma anche relazionali, come “avere un
padre”. Per esempio “ogni corvo ha un padre” diventa una formula complessa
come ∀x(Cx ⊃ ∃y Pyx). Come abbiamo visto, i neopositivisti sosterranno in
seguito che questo linguaggio standardizzato è il linguaggio ideale della scienza,
e che compito primario dello scienziato è parafrasare il linguaggio ordinario
in questo linguaggio perfetto.
Con Frege per la prima volta la logica riceve un’assiomatizzazione. Viene
cioè stabilito un insieme di enunciati fondamentali da cui, mediante regole
molto semplici, si è in grado di derivare la totalità delle leggi logiche,
proposizionali e quantificate, sotto forma di teoremi. Ma c’è di più: Frege ritiene
che dagli assiomi della logica si possa derivare, mediante la logica stessa, tutta la
teoria degli insiemi e tutta l’aritmetica. Si noti infatti che “essere un insieme” è
un predicato come un altro e le due relazioni di appartenenza e di inclusione
sono relazioni né più né meno come “padre di” e si possono quindi rappresentare
entro la logica dei quantificatori. Per il resto, è ovvio che intersezione, unione e
complementazione si possono rappresentare mediante i connettivi proposizionali
di congiunzione, disgiunzione e negazione rispettivamente (p.es. l’insieme delle
cose rosse e quadrate è l’intersezione dell’ insieme delle cose rosse con le cose
quadrate)
è degno di nota che le funzioni , tanto matematiche che non matematiche
(p.es. quella che correla peso e statura di un individuo) si lasciano rappresentare
come relazioni di tipo particolare , cioè relazioni della forma molti­uno. Una
particolare funzione è la corrispondenza biunivoca, che mette in correlazioni
insiemi della stessa numerosità, p.es. l’ insieme formato da Romolo e Remo e
quello formato da Caino e Abele. Per stabilire questa corrispondenza non è